@Akai Haruma

Bài 1: Theo đề bài: \(VT=\left(a-1\right)+\frac{1}{\left(a-1\right)}+1\ge2\sqrt{\left(a-1\right).\frac{1}{a-1}}+1=2+1=3^{\left(đpcm\right)}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a-1\right)=\frac{1}{a-1}\Leftrightarrow a=2\)

Bài 2: \(BĐT\Leftrightarrow\left(a^2+2\right)^2\ge4\left(a^2+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a^4+4a^2+4\ge4a^2+4\)

\(\Leftrightarrow a^4\ge0\) (đúng). Đẳng thức xảy ra khi a = 0

Bài 3: Hình như sai đề thì phải ạ. Nếu a = 1,5 ; b = 1 thì \(\frac{19}{10}=1,9< 3\)

Xét\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}=\frac{a^2+1}{\sqrt{a^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}=\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với 2 số dương ta được:

\(\sqrt{a^2+1}+\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\sqrt{\sqrt{a^2+1}.\frac{1}{\sqrt{a^2+1}}}=2\)=>\(\frac{a^2+2}{\sqrt{a^2+1}}\ge2\)(đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi a=0

Bài 1:

a) Áp dụng BĐT Cô-si:

\(VT=a-1+\frac{1}{a-1}+1\ge2\sqrt{\frac{a-1}{a-1}}+1=2+1=3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=2\).

b) BĐT \(\Leftrightarrow a^2+2\ge2\sqrt{a^2+1}\)

\(\Leftrightarrow a^2+1-2\sqrt{a^2+1}+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a^2+1}-1\right)^2\ge0\) ( LĐ )

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=0\).

Bài 2: tương tự 1b.

Bài 3:

Do \(a,b,c\) dương nên ta có các BĐT:

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)

Tương tự: \(\frac{b}{a+b+c}< \frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c};\frac{c}{a+b+c}< \frac{c}{c+a}< \frac{c+b}{a+b+c}\)

Cộng theo vế 3 BĐT:

\(\frac{a+b+c}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< \frac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}\)

\(\Leftrightarrow1< \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}< 2\)( đpcm )

1) Bất đẳng thức cần chứng minh

\(\Leftrightarrow\) a² + b² + c² + d² + \(2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\ge\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(ac+bd\le\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\left(1\right)\)

Nếu : ac + bd < 0 : BĐT luôn đúng

Nếu : ac + bd \(\ge\) 0 : Thì (1) tương đương

( ac + bd )² \(\le\) ( a² + b² )( c² + d² )

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ac\right)^2+\left(bd\right)^2+2abcd\le\left(ac\right)^2+\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2+\left(bd\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad\right)^2+\left(bc\right)^2-2abcd\ge0\)

\(\Leftrightarrow\) \(\left(ad-bc\right)^2\ge0\) , luôn đúng , vậy bài toán được chứng minh

2) Chọn :\(\left\{{}\begin{matrix}a=2\cos x.\cos y\\c=2\sin x.\sin y\\b=d=\sin\left(x-y\right)\end{matrix}\right.\)

Từ câu 1) ta có :

\(\sqrt{4\cos^2x.\cos^2y+\sin^2\left(x-y\right)}+\sqrt{4\sin^2x.\sin^2y+\sin^2\left(x-y\right)}\)

\(\ge\sqrt{\left(2\cos x.\cos y+2\sin x.\sin y\right)^2+\left(2\sin\left(x-y\right)\right)^2}\)

\(\ge\sqrt{4\cos^2\left(x-y\right)+4\sin^2\left(x-y\right)}=2\)

Bài 1:

a) Ta thấy:

\(x^4-2x^3+2x^2-2x+1=(x^4-2x^3+x^2)+(x^2-2x+1)\)

\(=(x^2-x)^2+(x-1)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^2-x=0\\ x-1=0\end{matrix}\right.\) hay $x=1$

b) Đề sai với $a=0,5; b=2,3; c=0,2$. Nếu đề bài của bạn giống bài dưới đây, tham khảo nó tại link sau:

Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến