Nhấn vào "Đúng 0" lời giải sẽ hiện ra

\(a\sqrt{b-1}=a\sqrt{\left(b-1\right).1}\le a.\frac{b-1+1}{2}=\frac{ab}{2}\)

\(b\sqrt{a-1}\le b.\frac{a-1+1}{2}=\frac{ab}{2}\)

Đến đây là ez rồi...

link tham khảo 

link : https://olm.vn/hoi-dap/detail/65332567571.html 

hok tốt 

t i c k giùm

Đặt \(\left(\sqrt{a};\sqrt{b};\sqrt{c}\right)=\left(x;y;z\right)\Rightarrow x+y+z=1\)

BĐT trở thành: \(\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}+\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}+\dfrac{zx}{\sqrt{x^2+z^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\)

Ta có:

\(x^2+z^2+y^2+z^2\ge\dfrac{1}{2}\left(x+z\right)^2+\dfrac{1}{2}\left(y+z\right)^2\ge\left(x+z\right)\left(y+z\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{xy}{\sqrt{x^2+y^2+2z^2}}\le\dfrac{xy}{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{xy}{x+z}+\dfrac{xy}{y+z}\right)\)

Tương tự: \(\dfrac{yz}{\sqrt{y^2+z^2+2x^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{yz}{x+y}+\dfrac{yz}{x+z}\right)\)

\(\dfrac{zx}{\sqrt{z^2+x^2+2y^2}}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx}{x+y}+\dfrac{zx}{y+z}\right)\)

Cộng vế với vế:

\(VT\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{zx+yz}{x+y}+\dfrac{xy+zx}{y+z}+\dfrac{yz+xy}{z+x}\right)=\dfrac{1}{2}\left(x+y+z\right)=\dfrac{1}{2}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\) hay \(a=b=c\)

Áp dụng bất đẳng thức bu nhi a ta có \(\left(x^2+y^2+z^2\right)3\ge\left(x+y+z\right)^2\)

Áp dụng ta có 

\(Q^2\le3\left(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}\right)\)

đặt \(M=\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=\frac{a}{1+a+ab}+\frac{ab}{a+ab+abc}+\frac{abc}{ab+abc+â^2bc}\)

    \(=\frac{1}{a+ab+1}+\frac{a}{a+ab+1}+\frac{ab}{1+ab+1}=1\)

=> \(Q^2\le3\Rightarrow Q\le\sqrt{3}\)

mặt khác Áp dụng cô si ta có 

\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\Rightarrow\sqrt{a+b+c}\ge\sqrt{3}\Rightarrow\sqrt{a+b+c}\ge Q\) (ĐPCM)

ta có:

\(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}=\frac{a}{abc+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{bc}{b+bc+abc}\)

\(=\frac{1}{1+b+bc}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{bc}{1+b+bc}=1\)

ta có:

\(Q^2\le3\left(\frac{a}{1+a+ab}+\frac{b}{1+b+bc}+\frac{c}{1+c+ca}\right)=3\)

\(\Rightarrow Q\le\sqrt{3}=\sqrt{3\sqrt[3]{abc}}\le\sqrt{a+b+c}\left(Q.E.D\right)\)

dấu = xảy ra khi a=b=c=1

Trả lời hộ mình đi

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky kết hợp Cauchy ngược dấu ta có:

\((a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2=(\sqrt{a}.\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}.\sqrt{ba-b})^2\leq (a+b)(ab-a+ba-b)\)

\(\leq \left(\frac{a+b+ab-a+ba+b}{2}\right)^2=(ab)^2\)

\(\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=2\)

a p dg côsi \(a\sqrt{b-1}=a.1.\sqrt{b-1}\le a.\dfrac{1+b-1}{2}=\dfrac{ab}{2}\)

ttuong tu \(b\sqrt{a-1}\le\dfrac{ab}{2}\)

nên vt\(\le ab\)

dau = xảy ra a=b=2

c=c.1 thay 1 bằng a+b+c xong cô si

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)})^2\leq [c+(b-c)][(a-c)+c]=ab$

$\Rightarrow \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2c$

Bài 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:

\((a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2=(\sqrt{a}.\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}.\sqrt{ab-b})^2\)

\(\leq (a+b)(ab-a+ab-b)=(a+b)(2ab-a-b)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

$(a+b)(2ab-a-b)\leq \left(\frac{a+b+2ab-a-b}{2}\right)^2=(ab)^2$

Do đó:

$(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2\leq (ab)^2$

$\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$

Lời giải:

Ta có:

\(A=(a+1)^2+\left(\frac{a^2+2a+2}{a+1}\right)^2=(a+1)^2+\left[\frac{(a+1)^2+1}{a+1}\right]^2\)

Đặt $a+1=t(t\neq 0)$ thì:

$A=t^2+(\frac{t^2+1}{t})^2=t^2+(t+\frac{1}{t})^2$

$=2t^2+\frac{1}{t^2}+2\geq 2\sqrt{2t^2.\frac{1}{t^2}}+2=2\sqrt{2}+2$ theo BĐT AM-GM

Vậy $A_{\min}=2\sqrt{2}+2$

Giá trị này đạt được khi $t=\frac{\pm 1}{\sqrt[4]{2}}$

$\Leftrightarrow a=\frac{\pm 1}{\sqrt[4]{2}}-1$

Ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{\left(b-1\right).1}\le\frac{b-1+1}{2}=\frac{b}{2}\)

\(\Rightarrow\)  \(a\sqrt{b-1}=\frac{ab}{2}\)  \(\left(1\right)\)

Tương tự, ta cũng có:  \(b\sqrt{a-1}=\frac{ab}{2}\)  \(\left(2\right)\)

Cộng hai bđt trên, suy ra đpcm