Bài 1 : Cho a>c , b>c ( a,b,c>0). Cmr : \(\sqrt{c\sqrt{a-c}}+\sqrt{c\sqrt{b-c}}\le\sqrt{ab}\) (Hướng dẫn : chia cả 2 vế cho \(\sqrt{ab}\) , dùng cô-si)
Bài 2 : Cho \(a\ge1;b\ge1\) . Cmr \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
Bài 3 : Tìm GTNN của \(A=\left(a+1\right)^2+\left(\frac{a^2}{a+1}+2\right)^2\) với mọi a\(\ne1\)
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(\sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)})^2\leq [c+(b-c)][(a-c)+c]=ab$
$\Rightarrow \sqrt{c(a-c)}+\sqrt{c(b-c)}\leq \sqrt{ab}$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2c$
Bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopkxy:
\((a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2=(\sqrt{a}.\sqrt{ab-a}+\sqrt{b}.\sqrt{ab-b})^2\)
\(\leq (a+b)(ab-a+ab-b)=(a+b)(2ab-a-b)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(a+b)(2ab-a-b)\leq \left(\frac{a+b+2ab-a-b}{2}\right)^2=(ab)^2$
Do đó:
$(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1})^2\leq (ab)^2$
$\Rightarrow a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=2$
Lời giải:
Ta có:
\(A=(a+1)^2+\left(\frac{a^2+2a+2}{a+1}\right)^2=(a+1)^2+\left[\frac{(a+1)^2+1}{a+1}\right]^2\)
Đặt $a+1=t(t\neq 0)$ thì:
$A=t^2+(\frac{t^2+1}{t})^2=t^2+(t+\frac{1}{t})^2$
$=2t^2+\frac{1}{t^2}+2\geq 2\sqrt{2t^2.\frac{1}{t^2}}+2=2\sqrt{2}+2$ theo BĐT AM-GM
Vậy $A_{\min}=2\sqrt{2}+2$
Giá trị này đạt được khi $t=\frac{\pm 1}{\sqrt[4]{2}}$
$\Leftrightarrow a=\frac{\pm 1}{\sqrt[4]{2}}-1$
mình mới gửi lên vài câu hỏi toán :vv giúp mình với ạ
