Sửa đề: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}+...\)

Đặt \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=t\Rightarrow2\le t\le2\sqrt{2}\)

\(t^2=4+2\sqrt{-x^2+6x-5}\Rightarrow\sqrt{-x^2+6x-5}=\frac{1}{2}t^2-2\)

BPT trở thành: tìm m lớn nhất để

\(t+\frac{1}{2}t^2-2\ge m\) với mọi \(t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

Xét \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\) trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(-\frac{b}{2a}=-1\notin\left[2;2\sqrt{2}\right]\)

\(f\left(2\right)=-\frac{11}{8};f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[2;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=f\left(2\right)=-\frac{11}{8}\)

\(\Rightarrow\) Để \(f\left(t\right)\ge m;\forall t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\Leftrightarrow m\le\min\limits_{\left[2;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=-\frac{11}{8}\)

\(\Rightarrow m_{max}=-\frac{11}{8}\)

\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=t\Rightarrow t^2=4+2\sqrt{\left(5-x\right)\left(x-1\right)}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\left(5-x\right)\left(x-1\right)}=\frac{t^2-4}{2}\)

\(\Rightarrow t+\frac{1}{2}t^2-2\ge m\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\ge0\\t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\le\sqrt{\left(x-1+5-x\right)\left(1+1\right)}=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Bất phương trình trở thành:

Tìm giá trị lớn nhất của m để \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\ge m\) có nghiệm đúng với \(\forall t\in\left[0;2\sqrt{2}\right]\)

\(\Leftrightarrow m\le max_{\left[0;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)\)

Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\) trên \(\left[0;2\sqrt{2}\right]\)

Do \(-\frac{b}{2a}=-1\notin\left[0;2\sqrt{2}\right]\) nên cực trị rơi vào 2 đầu mút

\(f\left(0\right)=-2;f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow max_{\left[0;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow m\le2+2\sqrt{2}\Rightarrow m_{max}=2+2\sqrt{2}\)

Ta có: \(f'\left(x\right)=3x^2+2\ge2;\forall x\)

Đặt \(g\left(x\right)=f\left(f\left(x\right)\right)-x\Rightarrow g'\left(x\right)=f'\left(x\right).f'\left(f\left(x\right)\right)-1\ge2.2-1>0;\forall x\)

\(\Rightarrow g\left(x\right)\) đồng biến trên R

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[2;6\right]}g\left(x\right)=g\left(2\right)=f\left(f\left(2\right)\right)-2\)

Ta cần tìm m để \(f\left(f\left(2\right)\right)-2\ge0\)

Đặt \(5^m=t\Rightarrow f\left(2\right)=12-t\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow\left(12-t\right)^3+2\left(12-t\right)-t-2\ge0\) 

\(\Leftrightarrow\left(10-t\right)\left(t^2-26t+175\right)\ge0\)

\(\Rightarrow t\le10\)

\(\Rightarrow5^m\le10\Rightarrow m\le log_510\)