Question

Cho bất phương trình \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}+\sqrt{-x^2+6x-5}\ge m\) . Tìm giá trị lớn nhất của m để bất phương trình đúng với mọi x thuộc \(\left[1;5\right]\) .

Answer 1

Đặt \(t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\Rightarrow2\le t\le2\sqrt{2}\)

\(t^2=4+2\sqrt{-x^2+6x-5}\Rightarrow\sqrt{-x^2+6x-5}=\frac{t^2-4}{2}\)

BPT trở thành:

\(t+\frac{t^2-4}{2}\ge m\) ; \(\forall t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\) \(\Leftrightarrow m\le\min\limits_{\left[2;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)\)

Với \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\)

Ta có: \(-\frac{b}{2a}=-2\notin\left[2;2\sqrt{2}\right]\) ; \(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow\min\limits_{\left[2;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=2\Rightarrow m\le2\)

\(\Rightarrow m_{max}=2\)