Cho tam giác ABC có: \(\widehat{B}=30\), \(\widehat{C}=15\)AM là đường trung tuyến. Tính số đo góc AMB
Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Tính số đo góc B và C cuả tam giác ABC biết rằng \(\widehat{MAB}=15^0\) và \(\widehat{MAC}=30^0\)
1. Cho tam giác ABC có góc B=45 độ, góc C=30 độ , BM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính số đo góc AMB
2. Cho tam giác ABC có AB=6cm, AC=10cm, độ dài đường trung tuyến AM=4cm. Tính diện tích tam giác ABC
Cho tam giác ABC có: ^b=30 độ ^c=15 độ ,AM là đường trung tuyến. Tính số đo góc AM
Góc AM?? Mình tính luôn ^AMB và ^AMC nhé !
Xét \(\Delta ABC\)có \(\widehat{BAC}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\)(theo định lý tổng 3 góc trong của 1 tam giác)
\(\Rightarrow\widehat{BAC}+30^o+15^o=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{BAC}=135^o\)
Vì AM là đường trung tuyến của \(\widehat{BAC}\)
\(\Rightarrow\widehat{MAB}=\widehat{MAC}=\frac{\widehat{BAC}}{2}=\frac{135^o}{2}=67,5^o\)
Xét \(\Delta AMB\)có : \(\widehat{MAB}+\widehat{B}+\widehat{AMB}=180^o\)(đ/lý tổng 3 góc trong của 1 tam giác)
\(\Rightarrow67,5^o+30^o+\widehat{AMB}=180^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AMB}=82,5^o\)
\(\Rightarrow\widehat{AMC}=180^o-\widehat{AMB}=180^o-82,5^o=97,5^o\)(Vì \(\widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^o\))
Trên mặt phẳng bờ BC chưa A lấy điểm N sao cho \(\Delta\)NCM đều
=> ^CMN = 60 độ
=> ^NMB = 120 độ
Mà NM = MC = BM
=> \(\Delta\)NMB cân tại tại B => ^NBM = 30 độ=> ^CBN = 30 độ mà ^CBA = 30 độ
=> M; A; N thẳng hàng
Xét \(\Delta\)CBN có: ^NCB = 60 độ ; ^CBN = 30 độ
=> ^CNB = 90 độ
=> ^CNA = 90 độ
mà ^ACN = ^MCN - ^MCA = 45 độ
=> \(\Delta\)NCA vuông cân tại N
=> NC = NA mà NC = NM
=> NA = NM => \(\Delta\)NAM cân tại N có: ^MNA = 30 độ => ^NMA = ^NAM = ( 180 - 30 ) : 2 = 75 độ
=> ^CAM = ^NAM - ^NAC = 75 - 45 = 30 độ
=> ^NAB = 180 - 30 - 15 - 30 = 105 độ
Lưu ý: Sử dụng định lý sin asinA=bsinB=csinC=2RasinA=bsinB=csinC=2R(trong đó , a, b, c lần lượt là các cạnh đối đỉnh của góc A, B, C, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)
Công thức tính đường trung tuyến: m2A=2(AB2+AC2)−BC24mA2=2(AB2+AC2)−BC24(trong đó mAmA là đường trung tuyến kẻ từ góc A)
Công thức tính diện tích tam giác bằng: 1212 tích hai cạnh góc bên nhân sin góc xen giữa
Bài làm:
Bài 1: Theo tính chất tổng 3 góc trong tam giác ˆC=180o−ˆA−ˆB=60oC^=180o−A^−B^=60o
Theo định lý sin ta có:
ABsinC=ACsinB⇒ABAC=sinCsinB=√3√2ABsinC=ACsinB⇒ABAC=sinCsinB=32
Bài 2: ABsinC=ACsinB⇒AC=ABsinBsinC=3√2ABsinC=ACsinB⇒AC=ABsinBsinC=32
Bài 3: AC=ABsinBsinC=3√3√2AC=ABsinBsinC=332
Bài 4: AB=ACsinCsinB=5√2AB=ACsinCsinB=52
Bài 5: AB=ACsinCsinB⇒AB=√6AB=ACsinCsinB⇒AB=6
Bài 6: AM2=2(AB2+AC2)−BC24⇒BC=2√17AM2=2(AB2+AC2)−BC24⇒BC=217
Bài 7: SΔABC=12AB.AC.sinA=3√3⇒ˆA=60oSΔABC=12AB.AC.sinA=33⇒A^=60o
Cho tam giác ABC có \(a = 8,b = 10,c = 13.\) Tính các góc \(\widehat A,\widehat B,\widehat C.\)
a) Tam giác ABC có góc tù không?
b) Tính độ dài trung tuyến AM, diện tích tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đó.
c) Lấy điểm D đối xứng với A qua C.
Tham khảo:
a) Áp dụng hệ quả của định lí cosin, ta có:
\(\begin{array}{l}\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}};\cos B = \frac{{{a^2} + {c^2} - {b^2}}}{{2ac}}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos A = \frac{{{{10}^2} + {{13}^2} - {8^2}}}{{2.10.13}} = \frac{{41}}{{52}} > 0;\\\cos B = \frac{{{8^2} + {{13}^2} - {{10}^2}}}{{2.8.13}} = \frac{{133}}{{208}} > 0\\\cos C = \frac{{{8^2} + {{10}^2} - {{13}^2}}}{{2.8.10}} = - \frac{1}{{32}} < 0\end{array} \right.\end{array}\)
\( \Rightarrow \widehat C \approx 91,{79^ \circ } > {90^ \circ }\), tam giác ABC có góc C tù.
b)
+) Áp dụng định lí cosin trong tam giác ACM, ta có:
\(\begin{array}{l}A{M^2} = A{C^2} + C{M^2} - 2.AC.CM.\cos C\\ \Leftrightarrow A{M^2} = {8^2} + {5^2} - 2.8.5.\left( { - \frac{1}{{32}}} \right) = 91,5\\ \Rightarrow AM \approx 9,57\end{array}\)
+) Ta có: \(p = \frac{{8 + 10 + 13}}{2} = 15,5\).
Áp dụng công thức heron, ta có: \(S = \sqrt {p(p - a)(p - b)(p - c)} = \sqrt {15,5.(15,5 - 8).(15,5 - 10).(15,5 - 13)} \approx 40\)
+) Áp dụng định lí sin, ta có:
\(\frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow R = \frac{c}{{2\sin C}} = \frac{{13}}{{2.\sin 91,{{79}^ \circ }}} \approx 6,5\)
c)
Ta có: \(\widehat {BCD} = {180^ \circ } - 91,{79^ \circ } = 88,{21^ \circ }\); \(CD = AC = 8\)
Áp dụng định lí cosin trong tam giác BCD, ta có:
\(\begin{array}{l}B{D^2} = C{D^2} + C{B^2} - 2.CD.CB.\cos \widehat {BCD}\\ \Leftrightarrow B{D^2} = {8^2} + {10^2} - 2.8.10.\cos 88,{21^ \circ } \approx 159\\ \Rightarrow BD \approx 12,6\end{array}\)
Cho tam giác ABC có góc B = 45o, Góc C = 30o, BM là đường trung tuyến của tam giác ABC. Tính số đo của góc AMB.
cho △ABC,\(\widehat{B}=30^0,\widehat{C}=15^0\) trung tuyến AM. Tính \(\widehat{AMB}\)
Cho tam giác ABC có góc B = 60 , góc C =15 , đường trung tuyến AM. Tính số đo góc AMB.
Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:
a) \(\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0\)
b) \(M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2.MA.MB.\cos \widehat {AMB}\) và \(M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2.MA.MC.\cos \widehat {AMC}\)
c) \(M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\) (công thức đường trung tuyến).
Tham khảo:
a) Ta có: \(\widehat {AMB} + \widehat {AMC} = {180^o}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {AMB} = - \cos \widehat {AMC}\)
Hay \(\cos \widehat {AMB} + \cos \widehat {AMC} = 0\)
b) Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta có:
\(\begin{array}{l}A{B^2} = M{A^2} + M{B^2} - 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} - A{B^2} = 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;\;(1)\end{array}\)
Tương tự, Áp dụng định lí cos trong tam giác AMB ta được:
\(\begin{array}{l}A{C^2} = M{A^2} + M{C^2} - 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\\ \Leftrightarrow M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;\;(2)\end{array}\)
c) Từ (1), suy ra \(M{A^2} = A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}\;\)
Từ (2), suy ra \(M{A^2} = A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\;\)
Cộng vế với vế ta được:
\(2M{A^2} = \left( {A{B^2} - M{B^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB}} \right)\; + \left( {A{C^2} - M{C^2} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}} \right)\;\)
\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - M{B^2} - M{C^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MC\;\cos \widehat {AMC}\)
Mà: \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\) (do AM là trung tuyến)
\( \Rightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMB} + 2MA.MB\;\cos \widehat {AMC}\)
\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.{\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} + 2MA.MB\;\left( {\cos \widehat {AMB} + \;\cos \widehat {AMC}} \right)\)
\( \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\frac{{BC}}{2}^2}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - {{\frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\end{array}\) (đpcm)
Cách 2:
Theo ý a, ta có: \(\cos \widehat {AMC} = - \cos \widehat {AMB}\)
Từ đẳng thức (1): suy ra \(\cos \widehat {AMB} = \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}\)
\( \Rightarrow \cos \widehat {AMC} = - \cos \widehat {AMB} = - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}\)
Thế \(\cos \widehat {AMC}\)vào biểu thức (2), ta được:
\(M{A^2} + M{C^2} - A{C^2} = 2MA.MC.\left( { - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} \right)\)
Lại có: \(MB = MC = \frac{{BC}}{2}\) (do AM là trung tuyến)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} = 2MA.MB.\left( { - \frac{{M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}}}{{2.MA.MB}}} \right)\\ \Leftrightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} = - \left( {M{A^2} + M{B^2} - A{B^2}} \right)\\ \Leftrightarrow M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{C^2} + M{A^2} + {\left( {\frac{{BC}}{2}} \right)^2} - A{B^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2M{A^2} - A{B^2} - A{C^2} + {\frac{{BC}}{2}^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2M{A^2} = A{B^2} + A{C^2} - {\frac{{BC}}{2}^2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - {{\frac{{BC}}{2}}^2}}}{2}\\ \Leftrightarrow M{A^2} = \frac{{2\left( {A{B^2} + A{C^2}} \right) - B{C^2}}}{4}\end{array}\)