a: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

BD chung

Do đó: ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE
=>D nằm trên đường trung trực của AE(1)

Ta có: BA=BE

=>B nằm trên đường trung trực của AE(2)

Từ (1) và (2) suy ra BD là đường trung trực của AE

b: Sửa đề: AF=EC

Ta có: ΔBAD=ΔBED

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)

mà \(\widehat{BAD}=90^0\)

nên \(\widehat{BED}=90^0\)

=>DE\(\perp\)BC

Xét ΔDAF vuông tại A và ΔDEC vuông tại E có

DA=DE

\(\widehat{ADF}=\widehat{EDC}\)

Do đó;ΔDAF=ΔDEC

=>AF=EC

c: Sửa đề: CM AE//CF

Xét ΔBFC có \(\dfrac{BA}{AF}=\dfrac{BE}{EC}\)

nên AE//CF
d: Sửa đề: I là trung điểm của FC

Ta có: IF=IC

=>I nằm trên đường trung trực của CF(3)

Ta có: DF=DC(ΔDAF=ΔDEC)

=>D nằm trên đường trung trực của CF(4)

ta có: BA+AF=BF

BE+EC=BC

mà BA=BE

và AF=EC

nên BF=BC

=>B nằm trên đường trung trực của CF(5)

Từ (3),(4),(5) suy ra B,D,I thẳng hàng

Help me

Mong làm giúp pls

 a) 

$\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:
BA = BE (gt)
ˆB1=ˆB2B1^=B2^ (BD là tia phân giác góc B)
BD là cạnh chung
$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta EBD$ (c.g.c)

$\Rightarrow$ ˆBAD=ˆBEDBAD^=BED^ (hai góc tương ứng)
ˆBADBAD^ $={}^{}$
$\Rightarrow$ˆBEDBED^ $={}^{}$
$\Rightarrow$ DE $\perp$ BE

b) $\Delta ABI$ và $\Delta EBI$ có:

a: Xét ΔBAE có BA=BE

nên ΔBAE cân tại B

b: Xét ΔBAD và ΔBED có

BA=BE

góc ABD=góc EBD

BD chung

=>ΔBAD=ΔBED

=>DA=DE

mà BA=BE

nên BD là trung trực của AE

e) vì AC vuông góc vs BK , KE ( kéo dài ED)vuông góc với BC mà AC và KE cắt nhau tại D => D là trực tâm của tam giác KBC => BD vuoogn góc với KC ( 1 ) .M là trung điểm của KC => BM là đường cao đồng thời là đường trung trực của tam giác KBC ( 2 ) . từ  ( 1 ) và ( 2 ) => B, D , M thằng hàng

a. Xét tam giác ABD vuông tại A và tam giác BED vuông tại E có:
BD : Cạnh chung 
Góc ABD = góc DBE (BD phân giác)
=> Tam giác ABD = tam giác BED (cạnh huyền - góc nhọn) 
b. Ta có BA = BE (Tam giác = tam giác câu a) 
=> tam giác BAE cân tại B. 
Lại có BD là phân giác tam giác BAE => BD vừa là phân giác vừa là đường trung trực của đoạn AE.
c. Xét tam giác EDC vuông tại E:
DE < DC (Cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền)
Mà DE = DA (Tam giác = tam giác câu a)
=> DA < DC. 
d. Xét tam giác ADF và tam giác EDC: 
DA = DE (tam giác = tam giác câu a)
DAF = DEC (=90 độ)
AF = EC (gt) 
=> Tam giác ADF = tam giác EDC (C.g.c)
=> ADF = EDC (góc tương ứng) 
Mặt khác : EDC + EDA = 180 độ .
Từ đó suy ra : EDA + ADF = 180 độ. 
Vậy E,D,F thẳng hàng.

Cách 1: Giải theo phương pháp bậc tiểu học (của bạn Ác Quỷ)

Ta có 

Mà dt(AMN) = 1/4 dt(ABN) = 1/4 . 1/2 dt(ABC) = 1/8 dt(ABC)

      dt(DMN) = dt(ABC) - dt(AMN) - dt(BDM) - dt(CDN) = dt(ABC) - 1/8 dt(ABC) - 3/8 dt(ABC) - 1/4 dt(ABC) = 1/4 dt(ABC)

Vậy , suy ra AE/AD = 1/3

Cách 2: Giải theo phương pháp bậc THCS (của bạn Lê Quang Vinh)

DN là đường trung bình của tam giác ABC => DN // AB và DN = 1/2 AB

DN // AB => Hai tam giác EAM và EDN đồng dạng => EA/ED = AM/DN = 1/2 (vì AM = 1/4 AB, DN = 1/2 AB)

=> AE/AD = 1/3

a: Xét ΔBAD và ΔBED có 

BA=BE

\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)

BD chung

DO đó: ΔBAD=ΔBED

b: Ta có: ΔBAD=ΔBED

nên DA=DE và \(\widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^0\)

c: Ta có: ΔBAE cân tại B

mà BI là đường phân giác

nên BI vừa là đường cao vừa là đường trung tuyến

=>I là trung điểm của AE và BD\(\perp\)AE

=>AI=EI