Giả sử đường tròn cần lập có tâm O; bán kính R.

Đường thẳng Δ đi qua M(2; -2) và có VTPT là n→(4; 3) nên đường thẳng này có 1 VTCP là u→(3; -4) . Phương trình tham số của đường thẳng Δ là:

O nằm trên Δ ⇒ O(2 + 3t; -2 – 4t)

Đường tròn (O; R) tiếp xúc với d1 và d2 ⇒ d(O; d1) = d(O; d2) = R

Ta có: d(O; d1) = d(O; d2)

+ Với t = 0 ⇒ O(2; -2) ⇒ R = d(O; d1) = 2√2

Phương trình đường tròn: (x – 2)2 + (y + 2)2 = 8.

+ Với t = -2 ⇒ O(-4; 6) , R = d(O; d1) = 3√2

Phương trình đường tròn: (x + 4)2 + (y – 6)2 = 18

Vậy có hai phương trình đường tròn thỏa mãn là:

(x – 2)2 + (y + 2)2 = 8 hoặc (x + 4)2 + (y – 6)2 = 18

Đường tròn (C) tiếp xúc với d₁ và d₂ , suy ra tâm của nó nằm trên đường phân giác của góc (d₁;d₂)

Khoảng cách từ một điểm bất kì trên phân giác của góc đến hai cạnh của góc thì bằng nhau, ta có:

\(\frac{\left|3x-4y+1\right|}{5}=\frac{\left|6x+8y-1\right|}{10}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2\left(3x-4y+1\right)=6x+8y-1\\2\left(3x-4y+1\right)=-6x-8y+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}16y-3=0\\12x+1=0\end{cases}}\)

Xét hệ \(\hept{\begin{cases}3x+y-1=0\\16y-3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{13}{48}\\y=\frac{3}{16}\end{cases}}\Rightarrow I_1\left(\frac{13}{48};\frac{3}{16}\right)\Rightarrow R_1=\frac{17}{80}\)

\(\Rightarrow\left(C_1\right):\left(x-\frac{13}{48}\right)^2+\left(y-\frac{3}{16}\right)^2=\frac{289}{6400}\)

Xét hệ: \(\hept{\begin{cases}3x+y-1=0\\12x+1=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{12}\\y=\frac{5}{4}\end{cases}}}\Rightarrow I_2\left(-\frac{1}{12};\frac{5}{4}\right)\Rightarrow R_2=\frac{17}{20}\)

\(\Rightarrow\left(C_2\right):\left(x+\frac{1}{12}\right)^2+\left(y-\frac{5}{4}\right)^2=\frac{289}{400}\).

Đường tròn (C) tiếp xúc với d₁ và d₂ , suy ra tâm của nó nằm trên đường phân giác của góc (d₁;d₂)

Khoảng cách từ một điểm bất kì trên phân giác của góc đến hai cạnh của góc thì bằng nhau, ta có:

|3x−4y+1|5 =|6x+8y−1|10 ⇔[

⇔[

Xét hệ {

⇔{

⇒I1(1348 ;316 )⇒R1=1780 

⇒(C1):(x−1348 )2+(y−316 )2=2896400 

Xét hệ: {

⇔{

⇒I2(−112 ;54 )⇒R2=1720 

⇒(C2):(x+112 )2+(y−54 )2=289400 .

Do tâm nằm trên đường thẳng ∆: x + 2y – 5 = 0 nên tâm I(5 – 2y; y). Mà đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d 1 :   3 x − y + 5 = 0   v à   d 2 :   x + 3 y − 13 = 0  nên có bán kính  R = d I ; d 1 = d I ;   d 2

⇒ 3 ​ ( 5 − 2 y ) − y + 5 3 2 + ​ ( − 1 ) 2 =    5 − 2 y + ​ 3 y − 13 1 2 + 3 2

⇒ 20 − 7 y 10 =    − 8 + ​ y 10 ⇔ 20 − 7 y = − 8 + ​ y ⇔ 400 − 280 y + ​ 49 y 2 = 64 − ​​ 16 y + ​ y 2 ⇔ 48 y 2    − 264 y      + 336 = 0 ⇔ y = 2 y = 7 2

Tương ứng ta có hai bán kính của (C) là  R 1 = 6 10 ,   R 2 = 9 2 10

Đáp án là D.

Gọi đường tròn tâm \(I\left(a;b\right)\Rightarrow d\left(I;d_1\right)=d\left(I;d_2\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|3a-4b+1\right|}{5}=\dfrac{\left|4a+3b-7\right|}{5}\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}3a-4b+1=4a+3b-7\\3a-4b+1=-4a-3b+7\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-7b+8\\b=7a-6\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(-7b+8;b\right)\\I\left(a;7a-6\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}IA^2=\left(-7b+6\right)^2+\left(b-3\right)^2\\IA^2=\left(a-2\right)^2+\left(7a-9\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(IA^2=d^2\left(I;d_1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left(-7b+6\right)^2+\left(b-3\right)^2=\left(b-1\right)^2\\\left(a-2\right)^2+\left(7a-9\right)^2=\left(a-1\right)^2\end{matrix}\right.\)

Giờ giải pt bậc 2 là được

Do tâm I của đường tròn thuộc d nên tọa độ I có dạng \(I\left(6a+10;a\right)\)

Đường tròn tiếp xúc d1 và d2

\(\Leftrightarrow d\left(I;d_1\right)=d\left(I;d_2\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left|3\left(6a+10\right)+4a+5\right|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{\left|3\left(6a+10\right)-4a-5\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}\)

\(\Leftrightarrow\left|22a+35\right|=\left|14a+25\right|\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}22a+35=14a+25\\22a+35=-14a-25\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a=-\frac{5}{4}\\a=-\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}I\left(\frac{5}{2};-\frac{5}{4}\right)\\I\left(0;-\frac{5}{3}\right)\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường tròn thỏa mãn:

\(\left[{}\begin{matrix}\left(x-\frac{5}{2}\right)^2+\left(y+\frac{5}{4}\right)^2=\frac{9}{4}\\x^2+\left(y+\frac{5}{3}\right)^2=\frac{1}{9}\end{matrix}\right.\)