\(a+b=\left(a+b\right)^2-3ab\ge\left(a+b\right)^2-\frac{3}{4}\left(a+b\right)^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4\left(a+b\right)\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a+b-4\right)\le0\)

\(\Rightarrow0\le a+b\le4\)

\(\Rightarrow P_{min}=0\) khi \(a=b=0\)

\(P_{max}=505.4=2020\) khi \(a=b=2\)

1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:

\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).

Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).

2.

\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)

Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)

\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )

\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)

\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)

3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)

\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)

\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)

\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)

Ta có: \(a^2-ab+b^2=a+b\)

<=> \(a^2-a\left(b+1\right)+b^2-b=0\)

<=> \(a^2-2a.\frac{b+1}{2}+\left(\frac{b+1}{2}\right)^2-\frac{b^2}{4}-\frac{b}{2}-\frac{1}{4}+b^2-b=0\)

<=> \(\left(a-\frac{b+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2=1\)

Ta có: \(\left(a-\frac{b+1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\left(b-1\right)^2=\frac{\left(a-\frac{b+1}{2}\right)^2}{1}+\frac{\left(\frac{3}{2}b-\frac{3}{2}\right)^2}{3}\)

\(\ge\frac{\left(a+b-2\right)^2}{4}\)

=> \(1\ge\frac{\left(a+b-2\right)^2}{4}\)

<=> \(\left(a+b-2\right)^2\le4\)

<=> \(-2\le a+b-2\le2\)

<=> \(0\le a+b\le4\)

mà  \(P=505a+505b=505\left(a+b\right)\)

=> \(0\le P\le2020\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\frac{a-\frac{b+1}{2}}{1}=\frac{\frac{3}{2}b-\frac{3}{2}}{3}\)<=> a = b 

Nếu P = 0 khi đó: a + b = 0 <=> a = b = 0 

Nếu P = 2020 <=>  a + b = 4 <=> a = b = 2

Vậy: GTNN của P = 0 đạt tại a = b = 0 

GTLN của P= 2020 đạt tại a = b = 2

\(a^2-ab+b^2=a+b\Rightarrow\left(a-b\right)^2=a+b-ab\)

\(\left(a-b\right)^2\ge0\Rightarrow\left(a+b\right)\ge ab\Rightarrow2\left(a+b\right)\ge2ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\le2\left(a+b\right)+a^2+b^2=2\left(a+b\right)+a+b+ab\le4\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow0\le a+b\le4\Leftrightarrow0\le P\le2020\)\(D=xr\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}a=b=0\\a=b=2\end{cases}}\)

Chắc chắn đây không phải là 1 đề bài chính xác

,

Ngắn gọn thì đây là 1 bài toán không giải được (min max tồn tại, nhưng không thể tìm được)

Cực trị xảy ra tại \(x=\dfrac{a}{b}\) là nghiệm của pt bậc 4:

\(7x^4+11x^3-3x^2-4x-2=0\)

Là một pt không thể phân tích về các pt bậc thấp hơn

Nếu sửa đề thế này thì có thể quy về 1 biến khá đơn giản:

\(3-ab=a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow ab\le1\)

\(3-ab=a^2+b^2\ge-2ab\Rightarrow ab\ge-3\)

\(\Rightarrow-3\le ab\le1\)

\(P=\left(a^2+b^2\right)^2-2a^2b^2-ab=\left(3-ab\right)^2-2a^2b^2-ab=-a^2b^2-7ab+9\)

Đặt \(ab=x\Rightarrow-3\le x\le1\)

\(P=-x^2-7x+9=\left(-x^2-7x+8\right)+1=1+\left(1-x\right)\left(x+8\right)\ge1\)

\(P=\left(-x^2-7x-12\right)+21=21-\left(x+3\right)\left(x+4\right)\le21\)

Đề có lẽ là "Tìm maxP" chứ nhỉ?

Vì a,b là các số thực dương nên:

\(P=\dfrac{ab}{a^2+2b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{2b}{a}}\)

Ta có \(2b\ge ab+4\Rightarrow\dfrac{2b}{a}\ge b+\dfrac{4}{a}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(b+\dfrac{4}{a}\ge4\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2b}{a}\ge4\sqrt{\dfrac{b}{a}}\Leftrightarrow\left(\dfrac{b}{a}-2\sqrt{\dfrac{b}{a}}+1\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\dfrac{b}{a}}-1\right)^2\ge1\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}-1\ge1\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}\ge4\).

Đặt \(x=\dfrac{b}{a}\Rightarrow x\ge4\). Ta có: \(\dfrac{1}{P}=2x+\dfrac{1}{x}=\left(\dfrac{x}{16}+\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{31x}{16}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{16}.\dfrac{1}{x}}+\dfrac{15.4}{16}=\dfrac{33}{4}\)

\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{4}{33}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{a}=4\\2b=ab+4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4\\a=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(MaxP=\dfrac{4}{33}\).

Chuyên gia sao lại đi hỏi ^{( nghĩ chuyên gia phải cái gì cũng biết mà ??? )}

Ta có: \(\left(a+b+c\right)^2\ge0\)

     <=>\(a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

     <=>\(1+2\left(ab+bc+ca\right)\ge0\)

     <=>\(ab+bc+ca\ge\dfrac{-1}{2}\)

     hay P\(\ge\dfrac{-1}{2}\)