Violympic toán 9

Bạn chưa đăng nhập. Vui lòng đăng nhập để hỏi bài
Tống Cao Sơn

cho a b là các số thực dương thỏa mãn 2b≥ ab+4 

Tìm min P \(\dfrac{ab}{a^2+2b^2}\)

Thầy Lâm giúp em với 

Nguyễn Văn A
31 tháng 3 2023 lúc 21:54

Đề có lẽ là "Tìm maxP" chứ nhỉ?

Vì a,b là các số thực dương nên:

\(P=\dfrac{ab}{a^2+2b^2}=\dfrac{1}{\dfrac{a}{b}+\dfrac{2b}{a}}\)

Ta có \(2b\ge ab+4\Rightarrow\dfrac{2b}{a}\ge b+\dfrac{4}{a}\)

Áp dụng BĐT Cauchy ta có \(b+\dfrac{4}{a}\ge4\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2b}{a}\ge4\sqrt{\dfrac{b}{a}}\Leftrightarrow\left(\dfrac{b}{a}-2\sqrt{\dfrac{b}{a}}+1\right)\ge1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{\dfrac{b}{a}}-1\right)^2\ge1\Leftrightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}-1\ge1\Leftrightarrow\dfrac{b}{a}\ge4\).

Đặt \(x=\dfrac{b}{a}\Rightarrow x\ge4\). Ta có: \(\dfrac{1}{P}=2x+\dfrac{1}{x}=\left(\dfrac{x}{16}+\dfrac{1}{x}\right)+\dfrac{31x}{16}\ge2\sqrt{\dfrac{x}{16}.\dfrac{1}{x}}+\dfrac{15.4}{16}=\dfrac{33}{4}\)

\(\Leftrightarrow P\le\dfrac{4}{33}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{a}=4\\2b=ab+4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=4\\a=1\end{matrix}\right.\)

Vậy \(MaxP=\dfrac{4}{33}\).

 


Các câu hỏi tương tự
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
camcon
Xem chi tiết
Bách Bách
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Ngà
Xem chi tiết