Gỉa sử \(\Delta ABC\)cân tại C, kẻ \(CH⊥AB\)

Ta có VT= \(\cos^2A=\frac{AH^2}{AC^2};\cos^2B=\frac{BH^2}{BC^2}\Rightarrow\cos^2A+\cos^2B=\frac{AH^2}{AC^2}+\frac{BH^2}{BC^2}=2.\frac{AH^2}{AC^2}\)do \(\hept{\begin{cases}AH=BH\\AC=BC\end{cases}}\)

\(\sin^2A=\frac{CH^2}{CA^2};\sin^2B=\frac{CH^2}{CB^2}\Rightarrow\sin^2A+\sin^2B=2.\frac{CH^2}{CA^2}\)

\(\Rightarrow\frac{\cos^2A+\cos^2B}{\sin^2A+\sin^2B}=\frac{2.\frac{AH^2}{AC^2}}{2.\frac{CH^2}{AC^2}}=\frac{AH^2}{CH^2}\)

Ta có VP =\(\frac{1}{2}\left(\cot^2A+\cot^2B\right)=\frac{1}{2}.\left(\frac{AH^2}{CH^2}+\frac{BH^2}{CH^2}\right)=\frac{1}{2}\left(2.\frac{AH^2}{CH^2}\right)=\frac{AH^2}{CH^2}\)

Ta thấy VT=VP\(\Rightarrow\)giả sử đúng 

Vậy ........

\(\frac{cosa}{1+sina}+\frac{sina}{cosa}=\frac{cos^2a+sina\left(1+sina\right)}{cosa\left(1+sina\right)}=\frac{1+sina}{cosa\left(1+sina\right)}=\frac{1}{cosa}\)

\(\frac{sin^2a+cos^2a+2sina.cosa}{\left(sina-cosa\right)\left(sina+cosa\right)}=\frac{\left(sina+cosa\right)^2}{\left(sina-cosa\right)\left(sina+cosa\right)}=\frac{sina+cosa}{sina-cosa}=\frac{\frac{sina}{cosa}+1}{\frac{sina}{cosa}-1}=\frac{tana+1}{tana-1}\)

\(\left(sin^2a\right)^3+\left(cos^2a\right)^3=\left(sin^2a+cos^2a\right)^3-3sin^2a.cos^2a\left(sin^2a+cos^2a\right)\)

\(=1-3sin^2a.cos^2a\)

\(sin^2a-tan^2a=tan^4a\left(\frac{sin^2a}{tan^4a}-\frac{1}{tan^2a}\right)=tan^4a\left(sin^2a.\frac{cos^2a}{sin^2a}-\frac{1}{tan^2a}\right)\)

\(=tan^4a\left(cos^2a-cot^2a\right)\) bạn ghi sai đề câu này

\(\frac{tan^3a}{sin^2a}-\frac{1}{sina.cosa}+\frac{cot^3a}{cos^2a}=tan^3a\left(1+cot^2a\right)-\frac{1}{sina.cosa}+cot^3a\left(1+tan^2a\right)\)

\(=tan^3a+tana-\frac{1}{sina.cosa}+cot^3a+cota\)

\(=tan^3a+cot^3a+\frac{sina}{cosa}+\frac{cosa}{sina}-\frac{1}{sina.cosa}\)

\(=tan^3a+cot^3a+\frac{sin^2a+cos^2a-1}{sina.cosa}=tan^3a+cot^3a\)

\(\frac{cos\left(a-b\right)}{sin\left(a+b\right)}=\frac{cosa.cosb+sina.sinb}{sina.cosb+cosa.sinb}=\frac{\frac{cosa.cosb}{sina.sinb}+1}{\frac{sina.cosb}{sina.sinb}+\frac{cosa.sinb}{sina.sinb}}=\frac{cota.cotb+1}{cota+cotb}\)

Bạn ghi đề ko đúng

\(sin\left(a+b\right)sin\left(a-b\right)=\frac{1}{2}\left[cos2b-cos2a\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[1-2sin^2b-1+2sin^2a\right]\)

\(=sin^2a-sin^2b\)

\(=1-cos^2a-1+cos^2b=cos^2b-cos^2a\)

Câu này bạn cũng ghi đề ko đúng

\(cos\left(a+b\right)cos\left(a-b\right)=\frac{1}{2}\left[cos2a+cos2b\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[2cos^2a-1+1-2sin^2b\right]=cos^2a-sin^2b\)

\(=1-sin^2a-1+cos^2b=cos^2b-sin^2a\)

\(C=2sin3x.cos3x.\frac{cos3x}{sin3x}-\left(cos^23x-sin^23x\right)\)

\(=2cos^23x-cos^23x+sin^23x=cos^23x+sin^23x=1\)

\(\sqrt{2}sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\sqrt{2}\left(sinx.cos\frac{\pi}{4}-cosx.sin\frac{\pi}{4}\right)\)

\(=\sqrt{2}\left(sinx.sin\frac{\pi}{4}-cosx.cos\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}\left(cosx.cos\frac{\pi}{4}-sinx.sin\frac{\pi}{4}\right)=-\sqrt{2}cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\)

Câu này bạn ghi nhầm đề (lưu ý rằng \(sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\))

Câu 2b bạn cũng xem lại đề, chắc chắn ko đúng

\(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=90^0\Rightarrow sin\frac{A}{2}=cos\left(\frac{B}{2}+\frac{C}{2}\right)=cos\frac{B}{2}cos\frac{C}{2}-sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}\)

Câu 3 bạn cũng ghi sai đề luôn

Trong 1 ngày đẹp trời thì câu 4 cũng sai luôn cho đỡ lạc lõng đồng đội:

\(sin\left(a+b-b\right)=sin\left(a+b\right)cosb-cos\left(a+b\right)sinb=2sin\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow sin\left(a+b\right)\left[cosb-2\right]=cos\left(a+b\right).sinb\)

\(\Leftrightarrow\frac{sin\left(a+b\right)}{cos\left(a+b\right)}=\frac{sinb}{cosb-2}\Leftrightarrow tan\left(a+b\right)=\frac{sinb}{cosb-2}\)

4 câu bạn ghi đúng đề bài duy nhất câu 1, kinh thiệt :(

cái câu 1 kia lạ thật, phần phía trc có ngoặc thì phải nhân vs hạng tử nào đó chứ nhỉ? Và mk tính ra kq là \(-\cos^22\alpha\)

\(VT=\cos^4\alpha+\sin^4\alpha-2\cos^6\alpha-2\sin^6\alpha\)

\(=\sin^4\alpha\left(1-2\sin^2\alpha\right)-\cos^4\alpha\left(2\cos^2\alpha-1\right)\)

\(=\sin^4\alpha.\cos2\alpha-\cos^4\alpha.\cos2\alpha\)

\(=\cos2\alpha\left(\sin^2\alpha.\sin^2\alpha-\cos^4\alpha\right)\)

\(=\cos2\alpha.\left[\left(1-\cos^2\alpha\right)^2-\cos^4\alpha\right]\)

\(=\cos2\alpha.\left(1-2\cos^2\alpha\right)\)

\(=-\cos^22\alpha\)

2/ \(VT=\frac{1-\cos^2\alpha+\cos^2\alpha}{1+\sin2\alpha}=\frac{1}{1+\sin2\alpha}\)

\(VP=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}-1}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+1}=\frac{\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\sin\alpha-\cos\alpha}{\sin\alpha+\cos\alpha}\)

hmm, câu 2 có vẻ vô lí, bn thử nhân chéo lên mà xem, nó ko ra KQ = nhau đâu

1)

\((\cos^4a+\sin ^4a)-2(\cos^6a+\sin ^6a)=(\cos ^4a+\sin ^4a)-2(\cos ^2a+\sin ^2a)(\cos ^4a-\cos ^2a\sin ^2a+\sin ^4a)\)

\(=(\cos ^4a+\sin ^4a)-2(\cos ^4a-\cos ^2a\sin ^2a+\sin ^4a)\)

\(=-(\cos ^4a-2\sin ^2a\cos ^2a+\sin ^4a)=-(\cos ^2a-\sin ^2a)^2=-\cos ^22a\)

(bạn xem lại đề. Nếu thay $(\cos ^4a+\sin ^4a)$ thành $3(\cos ^4a+\sin ^4a)$ thì kết quả thu được là $(\cos ^2a+\sin ^2a)^2=1$ như yêu cầu)

2) Sửa đề:

\(\frac{\sin ^2a-\cos ^2a}{1+2\sin a\cos a}=\frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{\sin ^2a+\cos ^2a+2\sin a\cos a}=\frac{(\sin a-\cos a)(\sin a+\cos a)}{(\sin a+\cos a)^2}\)

\(=\frac{\sin a-\cos a}{\sin a+\cos a}=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}-1}{\frac{\sin a}{\cos a}+1}=\frac{\tan a-1}{\tan a+1}\)

Bạn lưu ý viết đề bài chuẩn hơn.

3)

\(\sin ^4a+\cos ^4a-\sin ^6a-\cos ^6a=\sin ^4a+\cos ^4a-[(\sin ^2a)^3+(\cos ^2a)^3]\)

\(=\sin ^4a+\cos ^4a-(\sin ^2a+\cos ^2a)(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)\)

\(=\sin ^4a+\cos ^4a-(\sin ^4a-\sin ^2a\cos ^2a+\cos ^4a)\)

\(=\sin ^2a\cos ^2a\) (đpcm)

4)

\(\frac{\cos a}{1+\sin a}+\tan a=\frac{\cos a}{1+\sin a}+\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\cos ^2a+\sin^2a+\sin a}{\cos a(1+\sin a)}=\frac{1+\sin a}{\cos a(1+\sin a)}=\frac{1}{\cos a}\)

5)

\(\frac{\tan a}{1-\tan ^2a}.\frac{\cot ^2a-1}{\cot a}=\frac{\tan a}{(tan a\cot a)^2-\tan ^2a}.\frac{\cot ^2a-1}{\cot a}\)

\(=\frac{\tan a}{\tan ^2a(\cot ^2a-1)}.\frac{\cot ^2a-1}{\cot a}=\frac{1}{\tan a\cot a}=\frac{1}{1}=1\)

-----------------------------------

Mấu chốt của các bài này là bạn sử dụng 2 công thức sau:

1. \(\sin ^2x+\cos^2x=1\)

2. \(\tan x.\cot x=1\)