\(L=\frac{a+b-b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=1-\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\)

\(L=b\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+b}\right)+\frac{c}{c+a}-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\)

\(L=\frac{b\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{c-a}{2\left(c+a\right)}+\frac{3}{2}=\left(a-c\right)\left(\frac{b}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}-\frac{1}{2\left(a+c\right)}\right)+\frac{3}{2}\)

\(L=\left(a-c\right)\left(\frac{ab+bc-ac-b^2}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\right)+\frac{3}{2}=\frac{\left(a-b\right)\left(a-c\right)\left(b-c\right)}{2\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi ít nhất 2 trong 3 số bằng nhau

Ta có:

\(L=\frac{\sum\left(abc+a^2b+ca^2+c^2a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=\frac{3abc+2\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}{2abc+\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)+\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\).

Ta chứng minh \(L\ge\frac{3}{2}\). (*)

Thật vậy:

\(\left(\cdot\right)\Leftrightarrow a^2b+b^2c+c^2a\ge ab^2+bc^2+ca^2\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\ge0\left(Q.E.D\right)\).

(*) được chứng minh.

Vậy Min P = 0,125 khi a = b = c.

\(\frac{a^4}{b^2c}+b+b+c\ge4\sqrt[4]{\frac{a^4b^2c}{b^2c}}=4a\)

Tương tự: \(\frac{b^4}{c^2a}+2c+a\ge4b\) ; \(\frac{c^4}{a^2b}+2a+b\ge4c\)

Cộng vế với vế:

\(VT+3\left(a+b+c\right)\ge4\left(a+b+c\right)\Rightarrow VT\ge a+b+c=5\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{5}{3}\)

\(A=\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\)

\(A=\Sigma\left(a-\frac{ab^2}{1+b^2}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si :

\(A\ge\Sigma\left(a-\frac{ab^2}{2b}\right)=\Sigma\left(a-\frac{ab}{2}\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)-\left(\frac{ab+bc+ca}{2}\right)\)\(\ge3-\frac{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

\(P=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2a+2b+2c}\)(cô si)

\(P\ge\frac{6^2}{2.6}=3\)dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{1}{2}\)

vậy dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

\(< =>MIN:P=3\)

Hoàng Như Quỳnh đấy có phải cô si đâu ? Bunya phân thức mà ~~

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có : ... ( như bạn Hoàng Như Quỳnh ) 

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 2

cô si phải như này nhé mấy nhóc 

Áp dụng bđt AM-GM : \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge a\)

Tương tự và cộng theo vế : \(P+3\ge6< =>P\ge3\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 2

Áp dụng BĐT Cauchy swarchz ta có:

A=\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{a+c}\ge\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2} \)

Mà \(a+b+c\ge\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ac}=1 \)

=>\(A\ge\frac{1}{2} \)

Dấu "=" xảy ra <=>a=b=c=\(\frac{1}{3} \)

cái này mà là của lớp 3 à. Sao khó thế

cái này ít nhất cũng phải lớp 6 lớp 7

Đặt \(S=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{c+d+a}+\frac{c}{d+a+b}+\frac{d}{a+b+c}\)

\(=\frac{a^2}{ab+ac+ad}+\frac{b^2}{bc+bd+ab}+\frac{c^2}{cd+ac+bc}+\frac{d^2}{ad+bd+cd}\)

Theo Svac-xơ thì \(S\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)

\(=\frac{a^2+b^2+c^2+d^2+2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}\)

Ngoài ra ta có : \(\hept{\begin{cases}a^2+b^2\ge2ab;a^2+c^2\ge2ac;a^2+d^2\ge2ad\\b^2+c^2\ge2bc;b^2+d^2\ge2bd;c^2+d^2\ge2cd\end{cases}}\)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2+d^2\right)\ge2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)\)

\(\Rightarrow S\ge\frac{\frac{8}{3}\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}{2\left(ab+ac+ad+bc+bd+cd\right)}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\)

Đặt \(P=\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+b}{c}+\frac{a+b+c}{d}\)

\(=\frac{b}{a}+\frac{c}{a}+\frac{d}{a}+\frac{c}{b}+\frac{d}{b}+\frac{a}{b}+\frac{d}{c}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{a}{d}+\frac{b}{d}+\frac{c}{d}\)

\(=\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)+\left(\frac{d}{a}+\frac{a}{d}\right)+\left(\frac{c}{b}+\frac{b}{c}\right)+\left(\frac{d}{b}+\frac{b}{d}\right)+\left(\frac{c}{d}+\frac{d}{c}\right)\)

\(\ge2.6=12\)

\(\Rightarrow M=S+P\ge\frac{5}{6}+12=12\frac{5}{6}\)

Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d

S = a+b+c + (1/a + 1/b + 1/c)

   >= (a+b+c) + 9/a+b+c

    = [ (a+b+c) + 9/4.(a+b+c) ] + 27/4.(a+b+c)

   >= \(2\sqrt{\left(a+b+c\right).\frac{9}{4.\left(a+b+c\right)}}\)   +    27/(4.3/2)

     = 3 + 9/2

     = 15/2

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1/2

Vậy ......

Tk mk nha

bài này còn có thể theo phương pháp chọn điểm rơi trong bài toán cực trị, bạn thử tìm hiểu nhé!!!!

\(2P=\frac{2ab+2bc+2ca}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{abc}=\frac{\left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)^3}{abc}\)

\(\Rightarrow2P+1=\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2\left(a+b+c\right)}{abc}\right)=\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2}{ab}+\frac{2}{bc}+\frac{2}{ca}\right)\)

\(\Rightarrow2P+1\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{ab+bc+ca}\right)\)

\(\Rightarrow2P+1\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{16}{ab+bc+ca}\right)\)

\(\Rightarrow2P+1\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{9}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}+\frac{16}{ab+bc+ca}\right)\)

\(\Rightarrow2P+1\ge\left(a+b+c\right)^2\left(\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+\frac{48}{\left(a+b+c\right)^2}\right)=57\)

\(\Rightarrow P\ge28\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\)