đặt \(b+c-a=x;a+c-b=y;a+b-c=z\)

=> \(\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z}{2}\\b=\frac{z+x}{2}\\c=\frac{x+y}{2}\end{cases}}\)

nên \(M=\frac{1}{2}\left[\frac{4\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(z+x\right)}{y}+\frac{16\left(x+y\right)}{z}\right]\)

            \(=\frac{1}{2}\left(\frac{4y}{x}+\frac{4z}{x}+\frac{9z}{y}+\frac{9x}{y}+\frac{16x}{z}+\frac{16y}{z}\right)\)

Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có 

\(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\ge2.\sqrt{\frac{4y.9x}{xy}}=12\)

\(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\ge2\sqrt{\frac{4z.16x}{xz}}=2.8=16\)

\(\frac{16y}{z}+\frac{9z}{y}\ge2\sqrt{\frac{16y.9z}{yz}}=2.12=24\)

cộng vào ta có 

\(M\ge\frac{1}{2}\left(12+16+24\right)=26\)

=> \(M\ge26\)

CÁCH KHÁC NÈ MỌI NGƯỜI !!!!!!

\(M+14,5=\frac{4a}{b+c-a}+2+\frac{9b}{a+c-b}+4,5+\frac{16c}{a+b-c}+8\)

=> \(M+14,5=\frac{4a+2\left(b+c-a\right)}{b+c-a}+\frac{9b+4,5\left(a+c-b\right)}{a+c-b}+\frac{16c+8\left(a+b-c\right)}{a+b-c}\)

=> \(M+14,5=\frac{2\left(a+b+c\right)}{b+c-a}+\frac{4,5\left(a+b+c\right)}{a+c-b}+\frac{8\left(a+b+c\right)}{a+b-c}\)

=> \(M+14,5=\left(a+b+c\right)\left(\frac{2}{b+c-a}+\frac{4,5}{a+c-b}+\frac{8}{a+b-c}\right)\)

=> \(M+14,5\ge\frac{\left(a+b+c\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{4,5}+\sqrt{8}\right)^2}{a+b-c+b+c-a+c+a-b}\)     (BĐT CAUCHY - SCHWARZ)

=> \(M+14,5\ge\frac{a+b+c}{a+b+c}.40,5\)

=> \(M+14,5\ge40,5\)

=> \(M\ge40,5-14,5=26\)

VẬY GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA M LÀ 26.

b+c-a > 0 

a + c - b > 0 

a + b - c > 0 

Đặt b + c - a = x ;  a + c - b = y ; a + b - c = z

=> x + y / 2  = c 

y+z/2 = a 

x+z/2 = b

Khi đó , P = \(\frac{4\frac{\left(y+z\right)}{2}}{x}+\frac{9\frac{x+z}{2}}{y}+\frac{16\frac{x+y}{2}}{z}\)

\(=\frac{1}{2}\left[\frac{4\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{y}+\frac{16\left(x+y\right)}{z}\right]\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{y}+\frac{16y}{z}\right)\right]\)

Tới đây dễ rồi nha , áp dụng bđt cô - si nha anh 

Đặt \(b+c-a=2x,c+a-b=2y,a+b-c=2z\to x,y,z>0\)  v

à thỏa mãn \(a=y+z,b=z+x,c=x+y.\) Đặt \(S=2VT\)  (hai lần vế trái của bất đẳng thức)  thì ta có

\(S=\frac{4\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{y}+\frac{16\left(x+y\right)}{z}=\left(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{y}+\frac{16y}{z}\right)\)

Theo bất đẳng thức Cô-Si ta được

\(S\ge2\sqrt{\frac{4y}{x}\cdot\frac{9x}{y}}+2\sqrt{\frac{4z}{x}\cdot\frac{16x}{z}}+2\sqrt{\frac{9z}{y}\cdot\frac{16y}{z}}=2\cdot6+2\cdot8+2\cdot12=2\cdot26=52.\)

Suy ra \(VT=\frac{S}{2}\ge\frac{52}{2}=26\).   (ĐPCM)

đề sai ở mẫu cuối nhé

đặt b + c - a = x ; a + c - b = y ; a + b - c = z

\(\Rightarrow a=\frac{y+z}{2};b=\frac{x+z}{2};c=\frac{x+y}{2}\)

\(\Rightarrow P=\frac{2\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{2y}+\frac{8\left(x+y\right)}{z}=\frac{2y}{x}+\frac{9x}{2y}+\frac{2z}{x}+\frac{8x}{z}+\frac{9z}{2y}+\frac{8y}{z}\)

\(\ge6+8+12=26\)

bài này dấu ' =" giải ra mệt lắm nên bạn tự giải

Ban nen cho phan khac chu khong phai phan giai tri

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c-a=2x\\c+a-b=2y\\a+b-c=2z\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=x+z\\c=x+y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow P=\frac{1}{2}.\left(\frac{4\left(y+z\right)}{x}+\frac{9\left(x+z\right)}{y}+\frac{16\left(x+y\right)}{z}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left(\left(\frac{4y}{x}+\frac{9x}{y}\right)+\left(\frac{4z}{x}+\frac{16x}{z}\right)+\left(\frac{9z}{y}+\frac{16y}{z}\right)\right)\)

\(\ge\frac{1}{2}.\left(2.2.3+2.2.4+2.3.4\right)=26\)

nỏ biết

Đặt: \(\hept{\begin{cases}b+c-a=2x\\c+a-b=2y\\a+b-c=2z\end{cases}}\Rightarrow x;y;z>0\text{ và }\hept{\begin{cases}a=y+z\\b=z+x\\c=x+y\end{cases}}\)

Áp dụng AM - GM, ta có:

\(2P=4\left(\frac{y+z}{x}\right)+9\left(\frac{x+z}{y}\right)+16\left(\frac{x+y}{z}\right)\)

\(=\left(4\frac{y}{x}+9\frac{x}{y}\right)+\left(4\frac{z}{x}+16\frac{x}{z}\right)+\left(9\frac{x}{y}+16\frac{x}{z}\right)\ge12+16+24=52\Rightarrow P\ge26\)

\(Đ\text{T}\Leftrightarrow3z=4y=6x\)

Phải là 9z/y + 16y/z chứ ban

ttttttttttttttttttttttt