Ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy số bộ a,b,c thỏa mãn điều kiện đã cho là 1.

Chọn B.

\(a,\dfrac{3}{a+b}=\dfrac{2}{b+c}=\dfrac{1}{c+a}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{b+c}{2}=\dfrac{c+a}{1}=\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{6}=\dfrac{a+b+c}{3}\\ \Rightarrow\dfrac{a+b}{3}=\dfrac{a+b+c}{3}\\ \Rightarrow3\left(a+b+c\right)=3\left(a+b\right)\\ \Rightarrow3\left(a+b\right)+3c=3\left(a+b\right)\\ \Rightarrow3c=0\\ \Rightarrow c=0\)

Vậy \(P=\dfrac{a+b-2019c}{a+b+2018c}=\dfrac{a+b}{a+b}=1\)

Xét a+b+c=0 thì A=\(\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{\left(-c\right).\left(-a\right).\left(-b\right)}{abc}=-1\)

Xét a+b+c\(\ne0\).Áp dụng dãy tỉ số bằng nhau ta có:

 \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\Rightarrow a=b=c\)

\(\Rightarrow A=\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{abc}=\frac{2a.2a.2a}{a.a.a}=8\)

Vậy.................................

\(a+b+c=0\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\Leftrightarrow a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)=-c^3\)

\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)

Vì \(-3ab\left(a+b\right)\) luôn chia hết cho 3 và a,b,c nguyên nên không thể là số nguyên tố

vì a+b+c = 2008 và 1/a + 1/b + 1/c = 1/2008 => 1/a + 1/ b + 1/c = 1/ (a+b+c)

\(\frac{bc}{abc}+\frac{ac}{abc}+\frac{ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{bc+ac+ab}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\Rightarrow\left(bc+ac+ab\right)\left(a+b+c\right)=abc\)

=>(a+b+c)(bc+ac+ab) - abc = 0

=> abc + a(ac+ab) + (b+c)(bc+ac+ab) - abc = 0

=> a²(b+c) +  (b+c)(bc+ac+ab) = 0 => (b+c)(a² + bc + ac + ab) = 0 => (b+c)[a(a+c) + b(a+c)] = 0 

=> (b+c)(a+b)(a+c) = 0 => b+c = 0 hoặc a+b = 0 hoặc a+c = 0

Nếu b+c = 0 => a = 2008

nếu a+ b = 0 => c = 2008

Nếu a+c = 0 => b = 2008

Vậy....

Trần Thị Loan : tại sao a+b+c = 2008  và 1/a+1/b+1/c = 1/2008 lại => 1/z+1/v+1/c = 1/(a+b+c) ????

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{2008};a+b+c=2008\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\frac{bc+ca+ac}{abc}=\frac{1}{a+b+c}\)

\(\Rightarrow\left(bc+ca+ac\right)\left(a+b+c\right)=abc\)

\(\Rightarrow\left(bc+ca+ac\right)\left(a+b+c\right)-abc=0\)

\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)

Nếu \(a+b=0\Rightarrow c=2008\)

       \(b+c=0\Rightarrow a=2008\)

       \(c+a=0\Rightarrow b=2008\)

Vậy 1 trong ba số bằng 2008