Từ \(a+b=4ab\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\)

\(\left(\frac{1}{a};\frac{1}{b}\right)\rightarrow\left(x;y\right)\)\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x+y=4\\\frac{x^2}{4y+x^2y}+\frac{y^2}{4x+xy^2}\ge\frac{1}{2}\end{cases}}\)

C-S: \(VT\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+xy\left(x+y\right)}\)\(\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)+\left(x+y\right)\cdot\frac{\left(x+y\right)^2}{4}}=\frac{1}{2}\)

vào tcn của tui ấn vào Thông kê hỏi đáp kéo xuống

là thế nào bạn ơi

\(a+b=4ab\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4\Rightarrow4\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow a+b\ge1\)

\(\frac{a}{4b^2+1}+\frac{b}{4a^2+1}=\frac{a\left(4b^2+1\right)-4ab^2}{4b^2+1}+\frac{b\left(4a^2+1\right)-4a^2b}{4a^2+1}\)

\(=a-\frac{4ab^2}{4b^2+1}+b-\frac{4a^2b}{4a^2+1}\)

\(=a+b-\left(\frac{ab^2}{4b^2+1}+\frac{4a^2b}{4a^2+1}\right)\)

\(\ge a+b-\left(\frac{4ab^2}{4b}+\frac{4a^2b}{4a}\right)=a+b-2ab\)

Ta có: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Rightarrow-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\le-2ab\)

\(\Rightarrow a+b-2ab\ge a+b-\frac{\left(a+b\right)^2}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

\("="\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Ta có \(-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}\ge-\dfrac{4ab^2}{2\sqrt{4b^2}}=\dfrac{4ab^2}{4b}=ab\)

\(-\dfrac{4a^2b}{4a^2+1}\ge-\dfrac{4a^2b}{2\sqrt{4a^2}}=\dfrac{4a^2b}{4a}=ab\)

Mà \(\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}=\dfrac{a\left(4b^2+1\right)}{4b^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4b^2+1}+\dfrac{b\left(4a^2+1\right)}{4a^2+1}-\dfrac{4ab^2}{4a^2+1}\ge a-ab+b-ab=4ab-2ab=2ab\)

Mà \(a+b=4ab\Rightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=4\ge\dfrac{2}{2\sqrt{ab}}\Rightarrow4\sqrt{ab}\ge2\Rightarrow ab\ge\dfrac{1}{4}\)

\(\Rightarrow2ab\ge\dfrac{1}{2}\Rightarrow\dfrac{a}{4b^2+1}+\dfrac{b}{4a^2+1}\ge\dfrac{1}{2}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}\)

Lời giải:

ĐK $\Rightarrow \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=4$

Đặt $\frac{1}{x}=a; \frac{1}{y}=b$ thì bài toán trở thành:

Cho $a,b>0$ thỏa mãn $a+b=4$. CMR:

$P=\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y^2}{x(y^2+4)}\geq \frac{1}{2}$

-----------------------

Áp dụng BĐT AM-GM:

$\frac{x^2}{y(x^2+4)}+\frac{y(x^2+4)}{64}\geq \frac{x}{4}$

$\frac{y^2}{x(y^2+4)}+\frac{x(y^2+4)}{64}\geq \frac{y}{4}$

Cộng theo vế và rút gọn:

$P\geq \frac{3(x+y)-xy}{16}=\frac{12-xy}{16}$

Mà $xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=4$

$\Rightarrow P\geq \frac{12-4}{16}=\frac{1}{2}$

Ta có đpcm.

2a=x

2b=y

cho gọn hệ số

\(\Leftrightarrow x^2+xy+y^2-6x-6y+12\\ \\\)

\(\left(x+\frac{y}{2}-3\right)^2+\left(y^2-6y+12\right)-\left(\frac{y^2}{4}-3y+9\right)\) để nguyên lại cho bạn dẽ hiểu

\(\left(x+\frac{y}{2}-3\right)^2+\frac{3}{4}\left(y-2\right)^2\ge0\)đẳng thức khi y=2; x=2=> a=b=4

Bác Ngô Như Minh giải đúng rồi. Nhầm một tí ở đoạn cuối cùng, đó là a = b = 1 mới đúng.

Tuy nhiên chỗ đó không quan trọng lắm. Nhầm lẫn là chuyện bình thường.

Ủng hộ bác Minh vác Kiếm tung hoành thiên hạ. Em chọn đúng rồi đấy.

uh chuẩn toán học nhầm , sai là chuyện bt mà "đb là cộng trừ nhân chia).

mình rất muốn có người chi ra cái sai bài làm của mình (đb là phần lập luận)

Giải: Ta có:

\(\frac{1}{4}\left(a+b\right)=a^2+b^2-ab\ge\left(a+b\right)^2-3\frac{\left(a+b\right)^2}{4}=\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\)

\(\Rightarrow0\le a+b\le1\)

Mặt khác: \(A\le20\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)-6\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+2013\)

\(\Rightarrow A\le20\left(a+b\right)\frac{a+b}{4}-3\left(a+b\right)^2+2013=2\left(a+b\right)^2+2013\le2015\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Vậy \(A_{max}=2015\Leftrightarrow a=b=\frac{1}{2}\)

Từ biểu thức A ta suy ra để A max thì a, b không âm.

Từ Giả thiết ta suy ra a + b = 4(a² - ab + b²) hay (a + b)² = 4(a³ + b³). Thế vào A ta được:

A = 5(a + b)² - 6(a² + b²) + 2013 = -(a² + b²) + 10ab + 2013 = -(a - b)² + 8ab + 2013.

Từ GT ta cũng suy ra a + b \(\ge\)4ab nên A \(\le\)-(a - b)² + 2(a + b) + 2013 \(\le\) 2013.

dấu "=" xảy ra khi a = b = 0. Vậy Max A = 2013 khi a = b = 0.

Cách làm như trên là không sai, tuy nhiên để chặt chẽ hơn bạn có thể làm như thế này:

Ta có:\(\left\{{}\begin{matrix}4a>4b\\-2>-3\end{matrix}\right.\), cộng 2 vế của bất phương trình ta được \(4a-2>4b-3\left(ĐPCM\right)\)

Ta có 1/4(a+b)=a^2+b^2-ab>=(a+b)^2-3((a+b)^2/4)=(a+b)^2/4

=>0=<a+b=<1

Mặt khác A=<20(a+b)(a^2+b^2-ab)-6((a+b)^2/2)+2013

=>A=<20(a+b)((a+b)/4)-3(a+b)^2+2013=2(a+b)^2+2013=<2015

=>Amin=2015 khi a=b=1/2