hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\x^2-2m+1\le0\end{matrix}\right.\) có nghiệm khi và chỉ khi
Hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1>0\\x-m< 2\end{matrix}\right.\) có nghiệm khi và chỉ khi
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-1>0\\x-m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>\dfrac{1}{2}\\x< m+2\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm khi \(m+2>\dfrac{1}{2}\Rightarrow m>-\dfrac{3}{2}\)
Hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\x^2-2mx+1\le0\end{matrix}\right.\) có nghiệm khi và chỉ khi?
\(x-1>0\Rightarrow x>1\)
Để hệ BPT có nghiệm
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-1\ge0\\x_2=m+\sqrt{m^2-1}>1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-1\end{matrix}\right.\\\sqrt{m^2-1}>1-m\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Xét (1):
- Với \(m=1\) ko thỏa mãn
- Với \(m>1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng
- Với \(m\le-1\) hai vế ko âm, bình phương:
\(m^2-1\ge m^2-2m+1\Leftrightarrow m\ge1\) (ktm)
Vậy mới \(m>1\) thì BPT đã cho có nghiệm
Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi
\(\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\x^2-2mx+1\le0\end{matrix}\right.\)
\(x-1>0\Rightarrow x>1\)
Xét \(x^2-2mx+1\le0\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-1=0\\-\frac{b}{2a}=m>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-1>0\\m-\sqrt{m^2-1}>1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\m-1>\sqrt{m^2-1}\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\\left(m-1\right)^2>m^2-1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m>1\)
Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}-x^2+2x+3\le0\\x+2m-1>0\end{matrix}\right.\)
Xét \(-x^2+2x+3\le0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge3\end{matrix}\right.\)
Xét \(x+2m-1>0\Leftrightarrow x>-2m+1\)
Hệ đã cho có nghiệm với mọi m (đều chứa khoảng dương vô cùng)
Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}-x^2+2x+3\le0\\x+2m-1>0\end{matrix}\right.\)
\(\left\{{}\begin{matrix}-x^2+2x+3\le0\\x+2m-1>0\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le3\\x>-2m+1\end{matrix}\right.\)
để pt ....thì \(-2m+1< 3\)
<=>\(-2m< 2\)
<=> \(m>1\)
vậy pt .....
cho hệ bất phương trình \(\hept{\begin{cases}x+m\le0\left(1\right)\\-x+5< 0\left(2\right)\end{cases}}\)hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
\(\hept{\begin{cases}x+m\le0\\-x+5< 0\end{cases}\hept{\begin{cases}x\le-m\\x< -5\end{cases}\hept{\begin{cases}x\in\left(-\infty;-m\right)\\x\in\left(-\infty;-5\right)\end{cases}}}}\)bạn sửa lại chỗ trên nha là nửa khoảng
\(+-m\ge-5\)
\(m\le5< =>\)tập nghiệm của HPT \(S=\left(-m;-\infty\right)\)
\(+-m< 5\)
\(m>5< =>\)tập nghiệm của HPT \(S=\left\{-\infty;-5\right\}\)
Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm\(\left\{{}\begin{matrix}3x^2\text{-2(1+m)x+2m-1 < 0}\\mx+2-m\le0\end{matrix}\right.\)
Tìm m để hệ bất phương trình có nghiệm duy nhất
a) \(\left\{{}\begin{matrix}2x-1\ge3\\x-m\le0\end{matrix}\right.\)
b) \(\left\{{}\begin{matrix}m^2x\ge6-x\\3x-1\le x+5\end{matrix}\right.\)
c) \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-3\right)^2\ge x^2+7x+1\\2m\le8+5x\end{matrix}\right.\)
d) \(\left\{{}\begin{matrix}mx\le m-3\\\left(m+3\right)x\ge m-9\end{matrix}\right.\)
e)\(\left\{{}\begin{matrix}2m\left(x+1\right)\ge x+3\\4mx+3\ge4x\end{matrix}\right.\)
a.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge2\\x\le m\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow m=2\)
b.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m^2+1\right)x\ge6\\2x\le6\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{6}{m^2+1}\\x\le3\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất \(\Leftrightarrow\dfrac{6}{m^2+1}=3\)
\(\Leftrightarrow m=\pm1\)
c.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2-6x+9\ge x^2+7x+1\\5x\ge2m-8\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{8}{13}\\x\ge\dfrac{2m-8}{5}\end{matrix}\right.\)
Pt có nghiệm duy nhất khi \(\dfrac{2m-8}{5}=\dfrac{8}{13}\Leftrightarrow m=\dfrac{72}{13}\)
d.
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
TH1:
\(\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\m^2-9=m^2-9m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow m=1\)
TH2:
\(\left\{{}\begin{matrix}m+3< 0\\\dfrac{m-3}{m}=\dfrac{m-9}{m+3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=1\) (ktm)
Vậy \(m=1\)
e.
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)x\ge-2m+3\\\left(4-4m\right)x\le3\end{matrix}\right.\)
Hệ có nghiệm duy nhất khi:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(2m-1\right)\left(4-4m\right)>0\\\dfrac{-2m+3}{2m-1}=\dfrac{3}{4-4m}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}< m< 1\\\left[{}\begin{matrix}m=\dfrac{3}{4}\\m=\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m=\dfrac{3}{4}\)
Tìm m để hệ bất phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}x-1>0\\x^2-2mx+1\le0\end{matrix}\right.\)có nghiệm