<< nhắc lại một số tính chất cơ bản: 
* n² hoặc chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1 
* n² hoặc chia hết cho 4 hoặc chia 4 dư 1 
* n^4 hoặc chia hết cho 5 hoặc chia 5 dư 1 
chứng minh đơn cũng đơn giản (xem như là các bài tập nhỏ) 
- - - 
1a) A = n²(n²-1) 
* vì n² chia 3 dư 0 hoặc 1 nên n² và n²-1 có một số chia hết cho 3 
=> n²(n²-1) chia hết cho 3 
* n² chia 4 dư 0 hoặc 1 nên n²(n²-1) có một số chia hết cho 4 
=> n²(n²-1) chia hết cho 4 
vì 3 và 4 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A = n²(n²-1) chia hết cho 3.4 = 12 

1b) B = n²(n^4-1) 
* B = n²(n²-1)(n²+1) 
theo câu a thì có n²(n²-1) chia hết cho 12 => B chia hết cho 12 

* từ lí thuyết trên có n² chia 5 dư 0 hoặc 1 => n² và n²-1 có 1 số chia hết cho 5 
=> B chia hết cho 5 
do 12 và 5 là hai số nguyên tố cùng nhau => B chia hết cho 12*5 = 60 

c) C = mn(m^4-n^4) 
* nếu m, hoặc n có số chia hết cho 5 => C chia hết cho 5 
Xét m và n đều không chia hết cho 5, từ lí thuyết trên ta có: 
m^4 chia 5 dư 1 và n^4 chia 5 dư 1 => (m^4 - n^4) chia 5 dư 1-1 = 0 
tóm lại ta có C chia hết cho 5 

* C = mn(m^4-n^4) = mn(m²-n²)(m²+n²) 
nếu m hoặc n có số chẳn => C chia hết cho 2 
nếu m và n cùng lẻ => m² và n² là hai số lẻ => m²-n² chẳn 
tóm lại C chia hết cho 2 

* nếu m, n có số chia hết cho 3 => C chia hết cho 3 
nếu m và n đều không chia hết cho 3, từ lí thuyết trên ta có: 
m² và n² chia 3 đều dư 1 => m²-n² chia hết cho 3 
tóm lại C chia hết cho 3 

Thấy C chia hết cho 5, 2, 3 là 3 số nguyên tố 
=> C chia hết cho 5*2*3 = 30 

1d) D = n^5 - n = n(n^4-1) 
* nếu n chia hết cho 5 => D chia hết cho 5 
nếu n không chia hết cho 5 => n^4 chia 5 dư 1 => n^4-1 chia hết cho 5 
tóm lại ta có D chia hết cho 5 

* D = n(n²-1)(n²+1) = (n-1)n(n+1)(n²+1) 
tích của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 6 (vì có đúng 1 số chia hết cho 3, và ít nhất 1 số chia hết cho 2) 
=> D chia hết cho 6 
D chia hết cho 2 số nguyên tố cùng nhau là 5 và 6 => D chia hết cho 5*6 = 30 

1e) E = 2n(16-n^4) = 2n(1-n^4 + 15) = 2n(1-n^4) + 30n = E' + 30n 
từ câu d ta đã cứng mình D = n(n^4-1) chia hết cho 30 
=> n(1-n^4) = -n(n^4-1) chia hết cho 30 => E' chia hết cho 30 
=> E = E' + 30n chia hết cho 30 

2) P = n^5/5 + n^3/3 + 7n/15 = 
= (n^5 - n + n)/5 + (n^3 -n +n)/3 + 7n/15 
= (n^5 -n)/5 + (n^3 -n)/3 + n/5 + n/3 + 7n/15 

* từ câu d ta có n^5 - n chia hết cho 30 => n^5 -n chia hết cho 5 
=> (n^5 - n)/5 = a (thuộc Z) 

* n^3 - n = n(n²-1)(n²+1) = (n-1)n(n+1)(n²+1) có tích của 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3 
=> (n^3 - n)/3 = b (thuộc Z) 

* n/5 + n/3 + 7n/15 = 15n/15 = n (thuộc Z) 

Vậy: P = a + b + n thuộc Z 
- - - - -

Nguồn:__|trituyet|__

1.

Chứng minh

(a). Giả sử n là 1 số lẻ ta có ̃n+3 là 1 số chẵn và n + 6 là 1 số lẻ => (n +3).(n + 6) là 1 số chẵn. 
(b). Giả sử n là 1 số chẵn ta có n + 3 là 1 số lẻ và n + 6 là 1 số chẵn => (n + 3).(n + 6) là 1 số chẵn. 
(c). Với mọi số tự nhiên n ta có (n + 3).(n + 6) > 18. 
Từ (a),(b),(c) ta có thể kết luận rằng với mọi số tự nhiên n thì tích (n + 3).(n + 6) luôn chia hết cho 2.

2.

Nếu n = 2k thì n + 6 = 2k + 6 chia hết cho 2 
Nếu n = 2k + 1 thì n + 3 = 2k + 4 chia het cho 2 
Vậy (n+3) . (n+6) chia hết cho 2

Với x lẻ thì x + 3 chẵn, tích ( x + 3 ) ( x + 6 ) là chẵn nên chia hết cho 2.

Với x chẵn thì x + 6 chẵn, tích ( x + 3 ) ( x + 6 ) là chẵn nên chia hết cho 2.

Vậy ( x + 3 ) ( x + 6 ) luôn chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên x.

n lẻ \(\Rightarrow\)n+3 chia hết cho 2

n chẵn \(\Rightarrow\)n+6 chia hết cho 2

Vậy với mọi số tự nhiên thì (n+3)(n+6) đều chiia hết cho 2

ta có : 2^ n = { x E N* | x \(⋮\)2}

số lẻ + số chẵn = số lẻ

7 là số lẻ 

số lẻ hoặc chẵn \(⋮\)số lẻ nên 2^n + 1 có khả năng chia hết cho 7

làm từng bước cho mình với ạ TT

Ta có: B=1+2+3+...+100

=(1+100)+(2+99)+...+(50+51)

\(=101\cdot50\)

Ta có: \(A=1^3+2^3+3^3+...+100^3\)

\(=\left(1^3+100^3\right)+\left(2^3+99^3\right)+...+\left(50^3+51^3\right)\)

\(=\left(1+100\right)\cdot\left(1-100+100^2\right)+\left(2+99\right)\left(4-198+99^2\right)+...+\left(50+51\right)\left(2500+50\cdot51+51^2\right)\)

\(=101\cdot\left(1-100+100^2+4-198+99^2+...+50^2-50\cdot51+51^2\right)⋮101\)

Ta có: \(A=1^3+2^3+3^3+...+100^3\)

\(=\left(1^3+99^3\right)+\left(2^3+98^3\right)+...50^3+100^3\)

\(=\left(1+99\right)\left(1-99+99^2\right)+\left(2+98\right)\cdot\left(4-196+98^2\right)+...+50^3+50^3\cdot2^3⋮50\)

mà (50,101)=1

nên \(A⋮50\cdot101=B\)

hay \(A⋮B\)(đpcm)