\(x-1>0\Rightarrow x>1\)

Để hệ BPT có nghiệm

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-1\ge0\\x_2=m+\sqrt{m^2-1}>1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}m\ge1\\m\le-1\end{matrix}\right.\\\sqrt{m^2-1}>1-m\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Xét (1):

- Với \(m=1\) ko thỏa mãn

- Với \(m>1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}VT\ge0\\VP< 0\end{matrix}\right.\) BPT luôn đúng

- Với \(m\le-1\) hai vế ko âm, bình phương:

\(m^2-1\ge m^2-2m+1\Leftrightarrow m\ge1\) (ktm)

Vậy mới \(m>1\) thì BPT đã cho có nghiệm

\(\left\{{}\begin{matrix}2x-1>0\\x-m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x>\dfrac{1}{2}\\x< m+2\end{matrix}\right.\)

Hệ có nghiệm khi \(m+2>\dfrac{1}{2}\Rightarrow m>-\dfrac{3}{2}\)

\(x-1>0\Rightarrow x>1\)

Xét \(f\left(x\right)=x^2-2mx+1\le0\)

Do \(a=1>0\), để BPT có nghiệm thì

TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=0\\-\frac{b}{2a}>1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-1=0\\m>1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn

TH2: \(f\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb và ít nhất 1 nghiệm lớn hơn 1

\(\Delta'=m^2-1>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\)

Để \(f\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm thỏa \(x_1< x_2\le1\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x_1-1\right)\left(x_2-1\right)\ge0\\\frac{x_1+x_2}{2}< 1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)+1\ge0\\x_1+x_2< 2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2-2m\ge0\\2m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) ko tồn tại m thỏa mãn

Vậy BPT đã cho có nghiệm khi \(\left[{}\begin{matrix}m>1\\m< -1\end{matrix}\right.\)

`x^2-1<=0`

`<=>x^2<=1`

`<=>-1<=x<=1`

`x-m>0<=>x>m`

PT có nghiệm

`=>m>=-1`

Xét \(-x^2+2x+3\le0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x\le-1\\x\ge3\end{matrix}\right.\)

Xét \(x+2m-1>0\Leftrightarrow x>-2m+1\)

Hệ đã cho có nghiệm với mọi m (đều chứa khoảng dương vô cùng)

\(\left\{{}\begin{matrix}-x^2+2x+3\le0\\x+2m-1>0\end{matrix}\right.\)<=>\(\left\{{}\begin{matrix}-1\le x\le3\\x>-2m+1\end{matrix}\right.\)

 để pt ....thì \(-2m+1< 3\)

<=>\(-2m< 2\)

<=> \(m>1\)

vậy pt .....

a, hệ\(\Leftrightarrow\)$\left \{ {{x>\frac{1}{2} } \atop {x<m+2}} \right.$

để hệ có nghiệm ⇒ m+2< $\frac{1}{2}$ ⇒ m<$\frac{-3}{2}$

\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-3x+2\le0\\mx+1-m\le0\end{matrix}\right.\)

<=>\(\left\{{}\begin{matrix}1\le x\le2\\x\le\dfrac{-1+m}{m}\end{matrix}\right.\)

để hpt trên có nghiệm thì \(\dfrac{-1+m}{m}\le2\) ĐK m ≠ 0

\(< =>m\ge-1\)

Vậy .....

\(x^2-3x+2\le0\Leftrightarrow1\le x\le2\) \(\Rightarrow D_1=\left[1;2\right]\)

Xét \(mx\le m-1\)

- Với \(m=0\) BPT vô nghiệm

- Với \(m>0\Leftrightarrow x\le\dfrac{m-1}{m}\) \(\Rightarrow D_2=(-\infty;\dfrac{m-1}{m}]\)

Hệ có nghiệm khi \(D_1\cap D_2\ne\varnothing\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{m}\ge1\) \(\Rightarrow\) không tồn tại m thỏa mãn

- Với \(m< 0\Leftrightarrow x\ge\dfrac{m-1}{m}\Rightarrow D_2=[\dfrac{m-1}{m};+\infty)\)

\(D_1\cap D_2\ne\varnothing\Leftrightarrow\dfrac{m-1}{m}\le2\)

\(\Leftrightarrow m-1\ge2m\Rightarrow m\le-1\)

Vậy \(m\le-1\)