Tính cos(\(\alpha+\frac{\pi}{3}\)) biết sin\(\alpha=\sqrt{\frac{1}{3}}\)và \(0< \alpha< \frac{\pi}{2}\).
Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \), biết:
a) \(\cos \alpha = \frac{1}{5}\) và \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\);
b) \(\sin \alpha = \frac{2}{3}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \).
c) \(\tan \alpha = \sqrt 5 \) và \(\pi < a < \frac{{3\pi }}{2}\);
d) \(\cot \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\) và \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \).
a) Vì \(0<\alpha <\frac{\pi }{2} \) nên \(\sin \alpha > 0\). Mặt khác, từ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) suy ra
\(\sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}a} = \sqrt {1 - \frac{1}{{25}}} = \frac{{2\sqrt 6 }}{5}\)
Do đó, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}}{{\frac{1}{5}}} = 2\sqrt 6 \) và \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{\frac{1}{5}}}{{\frac{{2\sqrt 6 }}{5}}} = \frac{{\sqrt 6 }}{{12}}\)
b) Vì \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi\) nên \(\cos \alpha < 0\). Mặt khác, từ \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) suy ra
\(\cos \alpha = \sqrt {1 - {{\sin }^2}a} = \sqrt {1 - \frac{4}{9}} = -\frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
Do đó, \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} = \frac{{\frac{2}{3}}}{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = -\frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) và \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{{-\frac{{\sqrt 5 }}{3}}}{{\frac{2}{3}}} = -\frac{{\sqrt 5 }}{2}\)
c) Ta có: \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }}\)
Ta có: \({\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}} = \frac{1}{6} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \sin \alpha < 0\;\) và \(\,\,\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = -\frac{1}{{\sqrt 6 }}\)
Ta có: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha = \sqrt 5 .(-\frac{1}{{\sqrt 6 }}) = -\sqrt {\frac{5}{6}} \)
d) Vì \(\cot \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\;\,\) nên \(\,\,\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - \sqrt 2 \)
Ta có: \({\cot ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cot }^2}\alpha + 1}} = \frac{2}{3} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt {\frac{2}{3}} \)
Vì \(\frac{{3\pi }}{2} < \alpha < 2\pi \Rightarrow \sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {\frac{2}{3}} \)
Ta có: \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} \Rightarrow \cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right).\left( { - \sqrt {\frac{2}{3}} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)
Tính các giá trị lượng giác của góc α, nếu:
a) \(\sin \alpha = \frac{5}{{13}}\) và \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)
b) \(\cos \alpha = \frac{2}{5}\) và \(0 < \alpha < 90^\circ \)
c) \(\tan \alpha = \sqrt 3 \) và \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)
d) \(\cot \alpha = \frac{1}{2}\) và \(270^\circ < \alpha < 360^\circ \)
Cho \(cos\alpha = \frac{1}{3}\) và \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\). Tính
\(\begin{array}{l}a)\;sin\alpha \\b)\;sin2\alpha \\c)\;cos\left( {\alpha + \frac{\pi }{3}} \right)\end{array}\)
a, Ta có: \({\sin ^2}x + co{s^2}x = 1\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{1}{3}} \right)^2} = 1\\ \Leftrightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt {1 - {{\left( {\frac{1}{3}} \right)}^2}} = \pm \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\end{array}\)
Vì \( - \frac{\pi }{2} < \alpha < 0\) nên \(sin\alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\).
\(b)\;\,sin2\alpha = 2sin\alpha .cos\alpha = 2.\left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{1}{3} = - \frac{{4\sqrt 2 }}{9}\)
\(c)\;cos(\alpha + \frac{\pi }{3}) = cos\alpha .cos\frac{\pi }{3} - sin\alpha .sin\frac{\pi }{3}\)\( = \frac{1}{3}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{2\sqrt 6 + 1}}{6}\).
Cho góc \(\alpha \) thỏa mãn \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi ,\cos \alpha = - \frac{1}{{\sqrt 3 }}\). Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right)\);
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right);\)
c) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right)\);
d) \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right)\).
Ta có:
a) \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{1}{2} = \frac{{ - \sqrt 3 + 3\sqrt 2 }}{6}\)
b) \(\cos \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha .\cos \frac{\pi }{6} - \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} = - \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}\)
c) \(\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{3} - \cos \alpha \sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} - \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}\)
d) \(\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \sin \alpha \sin \frac{\pi }{6} = \left( { - \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right).\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\frac{1}{2} = \frac{{ - 3 + \sqrt 6 }}{6}\)
Tính \(cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)\). Biết \(sin\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}},0< \alpha< \frac{\pi}{2}\)
Tính \(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right),\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right)\) biết \(\sin \alpha = - \frac{5}{{13}},\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\)
\(\cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\left( { - \frac{5}{{13}}} \right)}^2}} = - \frac{{12}}{{13}}\) (vì \(\pi < \alpha < \frac{{3\pi }}{2}\))
\(\sin \left( {\alpha + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \alpha \cos \frac{\pi }{6} + \cos \alpha sin\frac{\pi }{6} = \frac{{ - 12 + 5\sqrt 3 }}{{26}}\)
\(\cos \left( {\frac{\pi }{4} - \alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{4}\cos \alpha + \sin \frac{\pi }{4}sin\alpha = \frac{{ - 17\sqrt 2 }}{{26}}\)
Cho \(\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{6}}{2},a\in\left(0;\frac{\pi}{4}\right)\)
Tính giá trị biểu thức: \(P=\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\sqrt{2\left(1-\sin\alpha\cos\alpha+\sin\alpha-\cos\alpha\right)}\)
Tính các giá trị lượng giác của góc \(\alpha \) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \)
b) \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\) với \( - \pi < \alpha < 0\)
c) \(\tan \alpha = 3\) với \( - \pi < \alpha < 0\)
d) \(\cot \alpha = - 2\) với \(0 < \alpha < \pi \)
a) Ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)
mà \(\sin \alpha = \frac{{\sqrt {15} }}{4}\) nên \({\cos ^2}\alpha + {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{4}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{16}}\)
Lại có \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \) nên \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \frac{1}{4}\)
Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} = - \sqrt {15} ;\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = - \frac{1}{{\sqrt {15} }}\)
b)
Ta có \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1\)
mà \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\) nên \({\sin ^2}\alpha + {\left( {\frac{{ - 2}}{3}} \right)^2}\,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{5}{9}\)
Lại có \( - \pi < \alpha < 0\) nên \(\sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{3}\)
Khi đó \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{co{\mathop{\rm s}\nolimits} \alpha }} = \frac{{\sqrt 5 }}{2};\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\)
c)
Ta có \(\tan \alpha = 3\) nên
\(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {3^2} = 10\,\, \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{10}}\)
Mà \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{9}{{10}}\)
Với \( - \pi < \alpha < 0\) thì \(\sin \alpha < 0 \Rightarrow \sin \alpha = - \sqrt {\frac{9}{{10}}} \)
Với \( - \pi < \alpha < - \frac{\pi }{2}\) thì \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {\frac{1}{{10}}} \)
và \( - \frac{\pi }{2} \le \alpha < 0\) thì \(\cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{{10}}} \)
d)
Ta có \(\cot \alpha = - 2\) nên
\(\tan \alpha = \frac{1}{{\cot \alpha }} = - \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} = 1 + co{{\mathop{\rm t}\nolimits} ^2}\alpha \,\,\, = \,1 + {( - 2)^2} = 5\,\, \Rightarrow {\sin ^2}\alpha = \frac{1}{5}\)
Mà \({\cos ^2}\alpha + {\sin ^2}\alpha \,\,\, = \,1 \Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{4}{5}\)
Với \(0 < \alpha < \pi \) thì \(\sin \alpha > 0 \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {\frac{1}{5}} \)
Với \(0 < \alpha < \frac{\pi }{2}\) thì \(\cos \alpha > 0 \Rightarrow \cos \alpha = \sqrt {\frac{4}{5}} \)
và \(\frac{\pi }{2} \le \alpha < \pi \) thì \(\cos \alpha < 0 \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {\frac{4}{5}} \)
Tìm các gía trị lượng giác của cung \(\alpha\) biết
a \(sin\alpha=\frac{1}{5},\frac{\pi}{2}< \alpha< \pi\)
b \(tan\alpha=-\frac{1}{5},3\frac{\pi}{2}< \alpha< 2\pi\)
c \(sin2\alpha=\frac{2}{3},0< \alpha< \frac{\pi}{2}\)
d \(sin\alpha+cos\alpha=\sqrt{2},\frac{\pi}{2}< \alpha< \pi\)
a/ \(\frac{\pi}{2}< a< \pi\Rightarrow cosa< 0\)
\(\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^2a}=-\frac{2\sqrt{6}}{5}\)
\(tanx=\frac{sinx}{cosx}=-\frac{\sqrt{6}}{12}\) ; \(cotx=\frac{1}{tanx}=-2\sqrt{6}\)
b/ \(\frac{3\pi}{2}< a< 2\pi\Rightarrow cosa>0\)
\(\Rightarrow cosa=\frac{1}{\sqrt{1+tan^2a}}=\frac{5\sqrt{26}}{26}\)
\(sina=tana.cosa=-\frac{\sqrt{26}}{26}\)
c/ \(0< a< \frac{\pi}{2}\Rightarrow sina;cosa>0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}cos^2a+sin^2a=1\\2sina.cosa=\frac{2}{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow sina+cosa=\frac{\sqrt{15}}{3}\Rightarrow cosa=\frac{\sqrt{15}}{3}-sina\)
\(\Rightarrow sina\left(\frac{\sqrt{15}}{3}-sina\right)=\frac{1}{3}\Rightarrow sin^2a-\frac{\sqrt{15}}{3}sina+\frac{1}{3}=0\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}sina=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{6}\Rightarrow cosa=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{6}\\sina=\frac{\sqrt{15}-\sqrt{3}}{6}\Rightarrow cosa=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}}{6}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow tana=\frac{sina}{cosa}=...\)
d/ \(\frac{\pi}{2}< a< \pi\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}sina>0\\cosa< 0\end{matrix}\right.\)
\(cosa=\sqrt{2}-sina\) \(\Rightarrow sin^2a+\left(\sqrt{2}-sina\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow2sin^2a-2\sqrt{2}sina+1=0\Rightarrow sina=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow cosa=-\sqrt{1-sin^2a}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(tana=\frac{sina}{cosa}=-1\)
a, \(sin\alpha=\frac{1}{5},\frac{\pi}{2}< \alpha< \pi\)
+) \(sin^2\alpha+cos^2\alpha=1\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{5}\right)^2+cos^2\alpha=1\Leftrightarrow cos^2\alpha=\frac{24}{25}\Leftrightarrow cos\alpha=\pm\frac{2\sqrt{6}}{5}\)
mà \(\frac{\pi}{2}< \alpha< \pi\Rightarrow cos\alpha=-\frac{2\sqrt{6}}{5}\)
+) \(tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}=\frac{\frac{1}{5}}{-\frac{2\sqrt{6}}{5}}=-\frac{\sqrt{6}}{12}\)
+) \(cot\alpha=\frac{cos\alpha}{sin\alpha}=\frac{-\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=-2\sqrt{6}\)
Biết \(\sin\alpha\)= \(-\frac{2}{3}\)và \(-\pi< \alpha< \frac{-\pi}{2}\).Tính:
1.\(\tan\alpha\)và \(\cos3\alpha\)
2.Q= \(2\cos(2\alpha+\frac{\pi}{3})\)
3.P= \(\sin(\alpha+\frac{5\pi}{2})-3\cos(\alpha-\frac{11\pi}{2})+2\sin(3\pi+\alpha)\)