a) Ta có : OB - O'B = OO'

=> đường tròn (O) và (O'O tiếp xúc trong

b) Ta có : \(OA\perp DE\left(gt\right)\)

=> HD = HE hay H là trung điểm của DE

Theo (gt) : HA = HC

T/g ADCE có 2 đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm mỗi đường

=> T/g ADCE là hình thoi

c) Xét tam giác KBC có :

O'K = O'B = O'C (=bk)

\(\Rightarrow O'K=\frac{1}{2}BC\)

=> Tam giác KBC vuông tại K => \(CK\perp DB\left(1\right)\)

Xét tam giác ADB có :

OD = OA = OB ( =bk )

\(\Rightarrow OD=\frac{1}{2}AB\)

=> Tam giác ADB vuông tại D \(\Rightarrow AD\perp DB\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) => CK // AD (*)

Theo  ( c/m câu a ) : Tứ giác ADCE là hình thoi

                              => CE // AD ( ** )

Từ (*) và (**) => CE và CK là 2 đường thẳng trùng nhau

Vậy : 3 điểm E , C , K thẳng hàng ( đpcm )

a. hai đường tròn tiếp xúc trong

b.ADCE là tứ giác thoi do có hai đường chéo vuông góc vcowis nhau tại trung điểm của mỗi đường

c. ta dễ thấy AD//CẺ mà AE vuông gó c với BD nên CE vuông BD

mà CK cũng vuông góc với BD nến C,K,E thẳng hàng 

d. ta có do tam giác EKD vuông nên \(HK^2=HD^2=HA.HB=HC.HB\)

do \(HK^2=HC.HB\) nên HK là tiếp tuyến của O'

vgfykgkuy

mk bt nhưng mk ko bt

a: Vì ΔABC vuông tại A

nên A nằm trên (O)

b: ΔOAC cân tại O

mà OI là đường cao

nên OI là phân giác của gócc AOC

Xét ΔOAE và ΔOCE có

OA=OC

góc AOE=góc COE
OE chung

Do đó: ΔOAE=ΔOCE

=>góc OCE=90 độ

=>EC là tiếp tuyến của (O)

1.Vì đường kính của (O) là 10cm

\(\Rightarrow\) Bán kính của (O) là  \(R=\frac{10}{2}=5\)

\(\Rightarrow d\left(O,d\right)=3< R=5\)

\(\Rightarrow d\left(O\right)\)cắt nhau tại 2 điểm phân biệt

2 . Kẻ \(OI\perp AB\Rightarrow I\) là trung điểm AB

Vì \(OI\perp AB\Rightarrow OI=3\Rightarrow AI^2=OA^2-0I^2=5^2-3^2=16\)

\(\Rightarrow AI=4\Rightarrow AB=2AI=8\) vì I là trung điểm AB

3.Vì O, I là trung điểm AC,AB

=> OI là đường trung bình \(\Delta ABC\Rightarrow BC=2OI=6\)

4 . Vì AC là đường kính của (O) 

\(\Rightarrow CB\perp AB\Rightarrow CB\perp AM\)

Mà \(CA\perp CM\Rightarrow CB^2=AB.BM\)

\(\Rightarrow BM=\frac{BC^2}{AB}=\frac{6^2}{8}=\frac{9}{2}\)

1) \(\Delta AOC\)cân tại O có OD là đường cao nên cũng là phân giác của \(\widehat{AOC}\), do đó \(\widehat{AOD}=\widehat{COD}\Rightarrow\widebat{AD}=\widebat{DM}\)

nên DA = DM. Vậy tam giác AMD cân tại D (đpcm)

2) Dễ thấy \(\Delta OEA=\Delta OEC\left(c-g-c\right)\), từ đó suy ra được \(\widehat{OAE}=\widehat{OCE}=90^0\)

Do đó \(AE\perp AB\). Vậy AE là tiếp tuyến chung của \(\left(O\right)\)và \(\left(O'\right)\)

3) Giả sử AM cắt \(\left(O\right)\)tại \(N'\). Ta có \(\Delta OAN'\)cân tại O và \(OM\perp AN'\)nên OM là đường trung trực của AN'. Từ đó ta được CA = CN'

Ta có \(\widehat{CN'A}=\widehat{CAM}\) mà \(\widehat{CAM}=\widehat{DOM}\), do đó \(\widehat{CN'H}=\widehat{COH}\). Suy ra bốn điểm C, N', O, H thuộc một đường tròn. Suy ra N' thuộc đường tròn ngoại tiếp \(\Delta CHO\). Do vậy \(N'\equiv N\)

Vậy ba điểm A, M, N thẳng hàng (đpcm)

4) Vì ME song song với AB và \(AB\perp AE\)nên \(ME\perp AE\)

Ta có hai tam giác MAO, EMA đồng dạng nên \(\frac{MO}{EA}=\frac{MA}{EM}=\frac{AO}{MA}\Rightarrow MA^2=AO.EM\)

Dễ thấy \(\Delta MEO\) cân tại M nên ME MO. = Thay vào hệ thức trên ta được\(MA^2=AO.MO\)

Đặt MO = x > 0 \(\Rightarrow MA^2=OA^2-MO^2=a^2-x^2\) 

Từ \(MA^2=AO.MO\)  suy ra \(a^2-x^2=ax\Leftrightarrow x^2+ax-a^2=0\)

Từ đó tìm được \(x=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)a}{2}\)

Vậy \(OM=\frac{\left(\sqrt{5}-1\right)a}{2}\)