Hà Nguyễn

BD+ CE +BC ??
Đề đúng có pk là : BD + CE = BC ??

Với mọi vị trí điểm \(M\in BC\), ta luôn có:

\(S_{MAB}+S_{MAC}=S_{ABC}\)

Vì \(\Delta ABM\)có \(BD\perp AM\)

\(\Rightarrow S_{MAB}=\frac{BD.AM}{2}\)
Vì \(\Delta CAM\)có \(CE\perp AM\)

\(\Rightarrow S_{MAC}=\frac{CE.AM}{2}\)

Do đó \(\frac{BD.AM}{2}+\frac{CE.AM}{2}=S_{ABC}\)

\(\Rightarrow\left(BD+CE\right)AM=2S_{ABC}\)

\(\Rightarrow BD+CE=\frac{2S_{ABC}}{AM}\)

Vì \(S_{ABC}\)không đổi \(\Rightarrow2S_{ABC}\)không đổi.

Do đó \(\left(BD+CE\right)_{max}\Leftrightarrow AM_{max}\) 

Giả sử \(AB\le AC\)thì trong 2 đường xiên AM và AC, thì AM là đường xiên ngắn hơn. Do đó  : \(AM\le AC\).

Dấu bằng xảy ra \(\Leftrightarrow M\equiv C\).

\(\Rightarrow\)Đường thẳng xy phải dựng là đường thẳng là đường thẳng chứa cạnh lớn nhất trong 2 cạnh AB hoặc AC thì \(BD+CE\)đạt giá trị lớn nhất.

Vậy...

Bày này chỉ có đạt giá trị lớn nhất thôi nhé ! Bạn xem lại đề !

Lời giải :

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC.\) \(\Rightarrow AM\) không đổi.

Kẻ \(KM\perp DE\)

Khi đó tứ giác \(BDEC\) là hình thang. \(\left(BD//KM//EC\right)\)

Xét hình thang \(BDCE\) có : \(M\) là trung điểm của \(BC,\) \(BD//KM//EC\) ( cmt )

\(\Rightarrow K\) là trung điểm của \(DE\)

\(\Rightarrow KM\) là đường trung bình của hình thang \(BDEC\)

\(\Rightarrow BD+EC=2.KM\)

Mặt khác ta có : \(KM\le AM\) nên \(BD+EC\le2AM\) 

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow xy\perp AM\)

Vậy \(BD+CE\) đạt giá trị lớn nhất là \(2AM\) \(\Leftrightarrow xy\perp AM\)

Giải thích các bước giải:

a.Ta có xy//BC,MD//AB��//��,��//��

→AD//BM,AB//DM→ˆBMA=ˆMAD,ˆBAM=ˆAMD→��//��,��//��→���^=���^,���^=���^

Mà  chung cạnh 

Tương tự chứng minh được 

b.Gọi 

→ˆIAD=ˆIMB,ˆIDA=ˆIBM(AD//BM)→���^=���^,���^=���^(��//��)

Mà 

Lại có AE//CM→ˆEAI=ˆIMC��//��→���^=���^

Kết hợp 

→ˆAIE=ˆMIC→���^=���^

→ˆEIC=ˆAIE+ˆAIC=ˆMIC+ˆAIC=ˆAIM=180o→���^=���^+���^=���^+���^=���^=180�

 thẳng hàng

 đồng quy

J