Question

Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng xy không cắt cạnh BC. Gọi D và E thứ tự là hình chiếu của B và C trên xy. Xác định vị trí của xy để BD + CE=BC.

Answer 1

Vì △ABC vuông cân tại A (gt) => AB = AC và ∠ABC = ∠ACB = 45^o 

Để xy không cắt BC <=> xy // BC <=> DE // BC => ∠ABC = ∠BAD = 45^o  , ∠ACB = ∠CAE = 45^o 

Lại có: +) DE // BC (cmt) mà BD ⊥ DE (gt) 

=> BC ⊥ BD (từ vuông góc đến song song) 

+) DE // BC (cmt) mà CE ⊥ DE (gt) 

=> BC ⊥ CE (từ vuông góc đến song song) 

Xét △BAD vuông tại D có: ∠BAD + ∠ABD = 90^o (tổng 2 góc nhọn trong △ vuông) 

=> 45^o + ∠ABD = 90^o  

=> ∠ABD = 45^o mà ∠BAD =45^o  

=> ∠ABD = ∠BAD 

=> △ABD vuông cân tại D 

=> BD = DA 

Xét △CAE vuông tại E có: ∠CAE + ∠ACE = 90^o (tổng 2 góc nhọn trong △ vuông) 

=>45^o + ∠ACE = 90^o  

=> ∠ACE = 45^o mà ∠CAE = 45^o  

=> ∠CAE = ∠ACE 

=> △CAE vuông cân tại E 

=> EA = EC 

Xét △BCD vuông tại B và △EDC vuông tại E 

Có: ∠BDC = ∠DCE (BC // DE)

       DC là cạnh chung 

=> △BCD = △EDC (ch-gn) 

=> BC = DE (2 cạnh tương ứng) 

=> BC = DA + AE 

=> BD + EC = BC (đpcm)