1. Với x, y là những số nguyên. Chứng minh rằng (p+1)(q+1) chia hết cho 4.
2. Với x, y là những số nguyên. Chứng minh rằng (x^2+x)(x+2) - 15y chia hết cho 3.
b) Chứng minh rằng P = xy(x ^ 4 - 15y) - xy(y ^ 4 + 15y) hết cho 30, với x, y là các số nguyên.
Lời giải:
$P=xy(x^4-y^4)-30xy^2$
Khi đó muốn cm $P\vdots 30$ thì ta chỉ cần chỉ ra $xy(x^4-y^4)\vdots 30$ với mọi $x,y$ nguyên.
Nếu $x,y$ cùng tính chẵn lẻ thì $x^4, y^4$ cũng cùng tính chẵn lẻ.
$\Rightarrow x^4-y^4$ chẵn
$\Rightarrow xy(x^4-y^4)\vdots 2$
Nếu $x,y$ khác tính chẵn lẻ, nghĩa là 1 trong 2 số là số chẵn.
$\Rightarrow xy\vdots 2\Rightarrow xy(x^4-y^4)\vdots 2$
Vậy $xy(x^4-y^4)\vdots 2(*)$
--------------------------------------
Mặt khác:
Nếu 1 trong 2 số $x,y\vdots 5$ thì hiển nhiên $xy(x^4-y^4)\vdots 5$
Nếu $x,y$ đều không chia hết cho 5 thì $x^2, y^2$ cũng không chia hết cho $5$.
Mà 1 scp khi chia cho 5 dư $0,1,4$ nên lúc này $x^2, y^2$ chia 5 dư $1$ hoặc $4$
$xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)$.
$x^2, y^2$ mà cùng chia 5 dư $1$ hoặc cùng chia $5$ dư $4$ thì $x^2-y^2\vdots 5\Rightarrow xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)\vdots 5$
$x^2, y^2$ mà chia 5 khác số dư thì 1 số chia 5 dư 1, một số chia 5 dư 4 nên $x^2+y^2\vdots 5$
$\Rightarrow xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)\vdots 5$
Vậy tóm lại $xy(x^4-y^4)\vdots 5(**)$
-----------------
Nếu 1 trong 2 số $x,y$ chia hết cho 3 thì hiển nhiên $xy(x^4-y^4)\vdots 3$
Nếu cả 2 số $x,y$ đều không chia hết cho 3 thì $x^2, y^2$ chia 3 dư 1 (tính chất scp)
$\Rightarrow x^2-y^2\vdots 3$
$\Rightarrow xy(x^4-y^4)=xy(x^2-y^2)(x^2+y^2)\vdots 3 (***)$
Từ $(*); (**); (***)\Rightarrow xy(x^4-y^4)\vdots (2.3.5)$
Hay $xy(x^4-y^4)\vdots 30$
$\Rightarrow P\vdots 30$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên thì x,y thì
a) x(x^2+x)+x(x+1)chia hết cho (x+1) b) xy^2-yx^2+xy chia hết cho xy
a) x(x² + x) + x(x + 1)
= x²(x + 1) + x(x + 1)
= (x + 1)(x² + x)
= x(x + 1)² ⋮ (x + 1)
b) xy² - yx² + xy
= xy(y - x + 1) ⋮ xy
1.Cho x,y là số nguyên dương thỏa mãn:
1003x+2y=2008
a/Chứng tỏ rằng x chia hết cho 2
b/Tìm x,y
2.Chứng minh rằng:
2^0+2^1+2^2+...+2^5n-3+2^5n-2+2^5n-1 chia hết cho 31 nếu n là 1 số nguyên dương bất kì.
3.Tìm các số nguyên x sao cho:
a/ 3x+23 chia hết cho x+4
b/x^2+3x-3 là B(x-2)
4.Tìm x,y thuộc Z biết:
3x+4y-x.y=15
Giúp mình với nha mình cần gấp ^_^ ahihihihi!
a.Vì x,y là số nguyên dương
=> 1003 và 2y cũng là số nguyên dương
Vì 2008 là số chẵn
mà 2y cũng là số chẵn
=> 1003x là số chẵn
Vì 1003 là số lẻ
mà 1003x là số chẵn
=> x là số chẵn
=> x chia hết cho 2 (đpcm)
Vậy ta có đpcm
1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt:
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12.
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)!
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương)
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x
16. a) CM x² + y² = 7z²
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ
1. Tìm những cặp số (x,y) thoả mãn pt:
a) x² - 4x +y - 6√(y) + 13 = 0
b) (xy²)² - 16xy³ + 68y² -4xy + x² = 0
c) x² - x²y - y + 8x + 7 = 0 ngiệm (x,y) nào đạt y max
2. Giả sử x1, x2 là nghiệm của pt: x² - 6x + 1 =0. CM với mọi số nguyên dương n thì S(n) = x1ⁿ +x2ⁿ là số nguyên và không chia hết cho 5
3. Cho f(x) là một đa thức tuỳ ý với các hệ số nguyên. CM: f(a) - f(b) chia hết (a - b) với mọi số nguyên a,b
4. Chứng minh tồn tại đa thức p(x) với hệ số nguyên thoả p(3) = 10, p(7) = 24
5. Giả sử x, y, z là những số tự nhiên thoả x² + y² = z². Chứng minh xyz chia hết cho 60
6. Cho x,y,z là các số nguyên thoả (x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z. CM: x +y + z chia hết cho 27
7. Với 4 số nguyên a,b,c,d .CM:(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) chia hết cho 12.
8. Chứng minh nếu a² + b² chia hết cho 21 thì cũng chia hết cho 441
9. Tìm tất cả số nguyên tố vừa là tổng của 2 số nguyên tố, vừa là hiệu của 2 số nguyên tố
10. Viết số 100 thành tổng các số nguyên tố khác nhau
11. Tìm các nghiệm nguyên dương x! + y! = (x + y)!
12. Tìm các số tự nhiên n sao cho 2ⁿ +3ⁿ = 35
13. Tìm 3 số nguyên dương sao cho tích của chúng gấp đôi tổng của chúng
14. Tìm 4 số nguyên dương sao cho tổng và tích của chúng bằng nhau (Tương tự với 3 số nguyên dương)
15. Tìm 3 số nguyên dương x,y,z sao cho xy + 1 chia hết cho z; xz +1 chia hết cho y; yz + 1 chia hết cho x
16. a) CM x² + y² = 7z²
b) CM số 7 ko viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hửu tỉ
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x,y là số nguyên thì giá trị của đa thức:
A= (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4 là một số chính phương.
b) Chứng minh rằng n3 +3n2 +2n chia hết cho 6 với mọi số nguyên.
A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4
A=(x+y)(x+4y).(x+2y)(x+3y)+y4
A=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4
A=(x2+5xy+ 5y2 - y2 )(x2+5xy+5y2+y2)+y4
A=(x2+5xy+5y2)2-y4+y4
A=(x2+5xy+5y2)2
Do x,y,Z nen x2+5xy+5y2 Z
A là số chính phương
a) Ta có: A= (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y2
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = h ( h thuộc Z):
A = ( h - y2)( h + y2) + y2 = h2 – y2 + y2 = h2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
Vì x, y, z thuộc Z nên x2 thuộc Z, 5xy thuộc Z, 5y2 thuộc Z . Suy ra x2 + 5xy + 5y2 thuộc Z
Vậy A là số chính phương.
Bài 1: Cho đa thức P(x) = ax2+bx+c với a;b;c là các số nguyên. Biết rằng giá trị của đa thức chia hết cho 3 với mọi giá tri nguyên của x . Chứng minh rằng a;b;c đều chia hết cho 3
Bài 2:Tìm các cặp số nguyên sao cho x2+xy+y2=x2+y2
Cho x,y là các số nguyên khác 1 thỏa mãn (x2-1)/(y+1) + (y2-1)/(x+1) là số nguyên . chứng minh rằng x2y22 -1 chia hết cho x+1
cho m/n=1/x+1 + 1/x+1 + ...+1/y với m,n,x,y là các số tự nhiên lớn hơn 0 x<y x+y là số nguyên tố .Chứng minh rằng m chia hết cho x+y