\(A=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{x+y}{xy}\right)=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)

x+y+z=(x+y)+z=1 => [(x+y)+z]²=1

Ta có: \(1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4\left(x+y\right)z\)

Mặt khác: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Suy ra 1.(x+y)² \(\ge\)4(x+y)z.4xy<=>(x+y)^2\(\ge\)16xyz(x+y) \(\Leftrightarrow x+y\ge16xyz\)\(\Leftrightarrow A=\frac{x+y}{xyz}\ge16\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=z\\x=y\end{cases}}\) kết hợp với điều kiện ban đầu x+y+z=1,giải hệ ra <=> x=y=1/4; z=1/2

Vậy minA=16 khi x=y=1/4; z=1/2

Ta có : \(1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4z\left(x+y\right)\) 

Mặt khác : \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

Nhân hai bđt trên theo vế được \(\left(x+y\right)^2\ge16xyz\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x+y\ge16xyz\Rightarrow\frac{x+y}{xyz}\ge16\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 16 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y\\x+y=z\\x+y+z=1\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}\)

Có : \(x+y+z=\left(x+y\right)+z=1\)

Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương x + y với z có:

\(1=\left(x+y\right)+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\Rightarrow1^2\ge4\left(x+y\right)z\)

Hay: \(1\ge4\left(x+y\right)z\Rightarrow x+y\ge4\left(x+y\right)^2z\rightarrow\left(x+y>0\right)\)

Có : \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)

\(\Rightarrow x+y\ge16xyz\Rightarrow\frac{x+y}{xyz}\ge16\)

Dấu "=" xãy ra khi x = y,x + y + z = 1 , x+y/xyz = 16

Giải ra ta được  x = y = 1/4 , z = 1/2

\(M=\frac{x+y}{xy}.\frac{1}{z}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{xy}.\frac{1}{z}=\frac{2}{z\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{z\left(\frac{x+y}{2}\right)}=\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)

\(=\frac{4}{z\left(1-z\right)}=\frac{4}{\frac{1}{4}-\left(z-\frac{1}{2}\right)^2}\ge16\)

Min M= 16 khi  z=1/2 và  x=y =1/4.

M=x+yxy.1z≥2xy√xy.1z=2zxy√≥2z(x+y2)=4z(x+y)M=x+yxy.1z≥2xyxy.1z=2zxy≥2z(x+y2)=4z(x+y)

=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16=4z(1−z)=414−(z−12)2≥16

Min M= 16 khi  z=1/2 và  x=y =1/4.

Không biết có làm đúng không nữa ~ ~ ~

Giải giúp mình bài này với le thuy linh :

Cho ba số dương x,y,z thoả mãn: 11+x+11+y+11+z=211+x+11+y+11+z=2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xyz

Anh hùng Noob đây nè không biết có làm đúng không tui chỉ làm nhằng thôi ~ 

11+x=1−11+y+1−11+z=y1+y+z1+z≥2yz(1+y)(1+z)−−−−−−−√11+x=1−11+y+1−11+z=y1+y+z1+z≥2yz(1+y)(1+z)

Tương tự: 11+y≥2zx(1+z)(1+x)−−−−−−−−√11+y≥2zx(1+z)(1+x) ; 11+z≥2xy(1+x)(1+y)−−−−−−−−√11+z≥2xy(1+x)(1+y)

Nhân vế với vế 3 BĐT cùng chiều:

1(1+x)(1+y)(1+z)≥8xyz(1+x)(1+y)(1+z)1(1+x)(1+y)(1+z)≥8xyz(1+x)(1+y)(1+z)

⇒8xyz≤1⇒xyz≤18⇒8xyz≤1⇒xyz≤18

Pmax=18Pmax=18 khi x=y=z=12

a) x+y+z=1

⇔[(x+y)+z]²=1

Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có

(a+b)+c ≥ 2\(\sqrt{\left(a+b\right)c}\)

⇔[(a+b)+c)]² \(\ge4\left(a+b\right)c\)

⇔1 ≥ 4(a+b)c

nhân cả 2 vế cho số dương \(\dfrac{x+y}{xyz}\) được

\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4\left(x+y\right)^2c}{xyz}\)

⇔\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4z.4xy}{xyz}=16\)

Min A =16 khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z\\x=y\\x+z+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2}}\)