Đặt \(A=\frac{x+y}{xyz}\)
Theo bài ra có ta có các số nguyên dương x,y,z có tổng =1
=> x+y+z=1
=> \(\left[\left(x+y\right)+z\right]^2=1\). Áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)ta có:
\(1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4\left(x+y\right)z\)
Nhân 2 vế với số dương \(\frac{x+y}{xyz}\)được
\(\frac{x+y}{xyz}\ge\frac{4z\left(x+y\right)^2}{xyz}\ge\frac{4x\cdot4xy}{xyz}=16\)
MinA=16 <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x=y\\x+y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4};z=\frac{1}{2}}\)
Vậy MinA =16 đạt được khi \(x=y=\frac{1}{4};z=\frac{1}{2}\)
