Đáp án B

Ta có: S B A ^ = 60 ∘ ⇒ S A = A B tan 60 ∘ = a 3  

V A . A C D = 1 3 S A . S A C D = 1 3 . a 3 . a 2 2 = a 3 3 6

Lại có: V S . A M N V S . A C D = S M S C . S N S D = 1 4 ⇒ V S . A M N = a 3 3 24

Xét các hình vuông ABCD. Ta có hai tam giác vuông ADM và DCN bằng nhau nên ∠ DMA =  ∠ CND. Từ đó suy ra DM ⊥ CN. Trong tam giác vuông CDN ta có:

CD 2  = CH.CN ⇒ CH = 2a/ 5

Suy ra SH = CH.tan60 °  = 

S CDNM = S ABCD - S AMN - S BCM = 5 a 2 / 8

V S . CDNM  = 

Chọn C

Đáp án C                           

Rễ thấy Δ C D N = Δ D A M ⇒ D C N ^ = A D M ^  

mà C D H ^ + M D H ^ = 90 0 ⇒ C D H ^ + D C H ^ = 90 0 ⇒ C H ⊥ D H

mà C H ⊥ S H do S H ⊥ A B C D ⇒ D H ⊥ S C H .

Như vậy kẻ H K ⊥ S C thì HK là đường vuông góc chung của DM và SC hay HK là khoảng cách cần xác định.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

C D 2 = C H . C N ⇒ C H = C D 2 C N = C D 2 C D 2 + D N 2 = 4 a 2 4 a 2 + a 2 = 2 a 5  

1 H K 2 = 1 S H 2 + 1 C H 2 = 1 9 a 2 + 5 16 s 2 = 61 144 a 2 ⇒ H K = 12 a 61 61  

Vì S H ⊥ A B C D  nên

V S . C D M N = 1 3 S H . S . C D M N = 1 3 S H . S A B C D - S B C M - S A M N = 1 3 a 3 5 8 a 2 = 5 3 24 a 3

Đáp án B

Đáp án B

Chọn A.

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có:

A(0;0;0), B(0;a;0), C(a;a;0), D(a;0;0), S(0;0;a)

M là trung điểm của BC  ⇒ M a 2 ; a ; 0

N là trung điểm của SD ⇒ N a 2 ; 0 ; a 2 ⇒ M N → 0 ; - a ; a 2

Do ABCD là hình vuông nên  AC ⊥ BD

S A ⊥ ( A B C D ) B D ⊂ ( A B C D ) ⇒ S A ⊥ B D

Ta có: 

là một pháp tuyến của (SAC)

Khi đó ta có: 

sin α = cos ( M N → , B D → ) = M N → . B D → M N → . B D →

= a 2 a 5 2 . a 2 = 10 5

1 sin 2 α   = 1 + c o t 2 α   ⇔ 25 10 = 1 + c o t 2 α   ⇔ c o t 2 α   = 3 2 ⇒ c o t α = 3 2 ( d o   0 < α < 90 0 )

Lại có: 

tan α . c o t α = 1   ⇒ tan α = 2 3 = 6 3

Chọn A.

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Khi đó ta có:

A(0;0;0), B(0;a;0), C(a;a;0), D(a;0;0), S(0;0;a)

M là trung điểm của BC  ⇒ M a 2 ; a ; 0

N là trung điểm của SD  ⇒ N a 2 ; 0 ; a 2 ⇒ M N → 0 ; - a ; a 2

Do ABCD là hình vuông nên  AC ⊥ BD

S A ⊥ ( A B C D ) B D ⊂ ( A B C D ) ⇒ S A ⊥ B D

Ta có: 

là một pháp tuyến của (SAC)

Khi đó ta có: 

sin α = cos ( M N → , B D → ) = M N → . B D → M N → . B D →

= a 2 a 5 2 . a 2 = 10 5

1 sin 2 α   = 1 + c o t 2 α   ⇔ 25 10 = 1 + c o t 2 α   ⇔ c o t 2 α   = 3 2 ⇒ c o t α = 3 2 ( d o   0 < α < 90 0 )

Lại có: 

tan α . c o t α = 1   ⇒ tan α = 2 3 = 6 3

bctfhn ynz httrtn