a) Xét \(\Delta BAI\)và \(\Delta BAC\)có :

AB : cạnh chung

\(\widehat{BAI}=\widehat{BAC}\left(=90^0\right)\)

AC = AI ( gt )

\(\Rightarrow\Delta BAI=\Delta BAC\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{ABI}=\widehat{ABC}\)( do 2 tam giác = nhau )

Mà \(\widehat{ABI}+\widehat{BAH}=90^0\)( tổng 3 góc = 180⁰ mà có 1 góc = 90⁰ ( do AH\(\perp\)BI ) nên tổng 2 góc còn lại = 90⁰ )

\(\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{BAK}=90^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{BAK}\)

=> BA là đường phân giác của \(\widehat{HBK}\)

b) Ta có tam giác vuông ABK = CBA ( ch-gn ) => AB² = BK . BC (1)

Ta có tam giác vuông ABH = IBA ( ch-gn ) => AB² = BH . BI (2)

Từ (1) và (2) => BK . BC = BH . BI => HK // IC ( theo định lí Ta-let )

c) Gọi E là giao điểm của HK và BA

Có tam giác BHK cân ( BE là đường cao, phân giác ) => BH = BK

Ta có BA là đường trung trực của HK => HA = KA

Có tam giác vuông BHN = BKM ( gn-cgv ) => HN = KM

=> HA + AN = AK + AM => AN = AM => Tam giác AMN cân tại A

a)Xét Δ BIC có: 

BA là đường cao

BA là đường trung tuyến 

⇒ ΔBIC cân tại B

Ta có: BAI=BAC(c-g-c)

Ta có: Tam giác BIC cân tại B 

Mà BA là đường cao

⇒BA là đường phân giác của góc HBK

b):

Ta có ΔABK=CBA( ch-gn)=>AB^2=BK.BC(1)

Ta có ΔABH=IBA( ch-gn)=>AB^2=BH.BI(2)

(1)(2)=>BK.BC=BH.BI=>HK//IC ( định lý Ta-lét)

c):

Gọi E là giao điểm của HK&BA

Có Tam giác BHK cân ( BE là đường cao, phân giác)⇒BH=BK

Ta có BA là đường trung trực của HK⇒HA=AK

Có tam giác vg BHN=BKM (gn-cgv⇒HN=KM

⇒HA+AN=AK+AM

⇒AN=AM

⇒Δ AMN cân tại A

HELLO I AM NGOC

1)A) vì \(\Delta ABC\)CÓ \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)CÂN TẠI A

\(\Rightarrow AB=AC\)

XÉT \(\Delta ADB\)VÀ\(\Delta ADC\)CÓ

\(AB=AC\left(CMT\right)\)

\(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\left(GT\right)\)

\(AD\)LÀ CẠNH CHUNG

\(\Rightarrow\Delta ADB=\Delta ADC\left(C-G-C\right)\)

B)VÌ\(\Delta ABC\)CÓ \(\widehat{B}=\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\Delta ABC\)CÂN TẠI A

=> AB=AC

​​

a: Xét ΔBAD vuông tại A và ΔBHD vuông tại H có

BD chung

\(\widehat{ABD}=\widehat{HBD}\)

Do đó: ΔBAD=ΔBHD

b: ta có: ΔBAD=ΔBHD

=>BA=BH và DA=DH

Ta có: BA=BH

=>B nằm trên đường trung trực của AH(1)

Ta có: DA=DH

=>D nằm trên đường trung trực của AH(2)

Từ (1),(2) suy ra BD là đường trung trực của AH

Ta có: DA=DH

DH<DC

Do đó: DA<DC

c: Xét ΔDAK vuông tại A và ΔDHC vuông tại H có

DA=DH

AK=HC

Do đó: ΔDAK=ΔDHC

=>\(\widehat{ADK}=\widehat{HDC}\)

mà \(\widehat{HDC}+\widehat{ADH}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ADK}+\widehat{ADH}=180^0\)

=>K,D,H thẳng hàng

Ta có: BA+AK=BK

BH+HC=BC

mà BA=BH và AK=HC

nên BK=BC

=>B nằm trên đường trung trực của KC(3)

Ta có: ΔDAK=ΔDHC

=>DK=DC

=>D nằm trên đường trung trực của CK(4)

Từ (3),(4) suy ra BD là đường trung trực của CK

=>BD\(\perp\)CK

c: Xét tứ giác BHDM có

A là trung điểm chung của BD và HM

=>BHDM là hình bình hành

=>BH//DM

ta có:BH//DM

H\(\in\)BC

Do đó: DM//BC

d: Ta có: ΔCBD cân tại C

mà CA là đường cao

nên CA là phân giác của góc BCD

Xét ΔCNA vuông tại N và ΔCHA vuông tại H có

CA chung

\(\widehat{NCA}=\widehat{HCA}\)

Do đó: ΔCNA=ΔCHA

=>NA=AH

mà AH=1/2HM

nên NA=1/2HM

Xét ΔNHM có

NA là đường trung tuyến

\(NA=\dfrac{1}{2}HM\)

Do đó: ΔNHM vuông tại N