Cho đường tròn (O) đường kính AB, M là một điểm tùy ý trên đường kính AB. Qua M kẻ một cát tuyến cắt đường tròn ở C và D sao cho góc DMB = 45 độ. Chứng minh rằng MC^2 + MD^2 không phụ thuộc vào vị trí của điểm M trên AB.
Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Từ một điểm M trên nửa đường tròn , vẽ tiếp tuyến xy. Kẻ AD và BC cùng vuông góc vơi xy .
a) Chứng minh rằng : MC=MD
b) Chứng minh tổng AD+BC có giá trị không phụ thuộc vị trí điểm M trên nữa đường tròn tâm O
c) Chứng minh rằng : Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB .
d) Xác định vị trí M để tứ giác ABCD có diện diện tích lớn nhất
bn tựu vẽ hk nha
a, dễ cm tứ giác ABCD là hình thang
ta có AD//MO//CB(cùng vuông góc vs DC)
A0=B0
từ đây suy ra DM=MC
B, TỪ M KẺ MH VUÔNG GÓC VS AB
TA CÓ GÓC DAM=GÓC AMO( do AD//MO) (1)
LẠI CÓ GÓC AMO=GÓC MAO( do MO=AO) (2)
TỪ (1)(2) SUY RA GÓC DAM=GÓC MAO
LẠI CÓ GÓC D=GÓC MHA=90
SUY RA TAM GIAC DMA=TAM GIAC HMA
SUY RA AD=AH
tự BC=HB
TỪ ĐÂY SUY RA AD+CB=AH+BH=AB KO ĐỔI
C, TA CÓ MH=DM=MC(CMT)
LẠI CÓ MHVUOONG GÓC VS AB
SUY RA DƯỜNG TRÒN CD TX VS AB
D, TRONG HT VUÔNG ABCD CÓ DC<=AB
SUY RA SABCD=\(\frac{\left(AD+CB\right).DC}{2}=\frac{AB.CD}{2}< =\frac{AB^2}{2}\)
DẤU = XẢY RA KHI M NẰM CHÍNH GIỬA CUNG AB
cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. từ một điểm m nằm trên nửa đường tròn bất kì. Vẽ tiếp tuyến xy kẻ AD; BC cùng vuông góc với xy tại D và C
CMR : MC = MD ; Tông AD+BC có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm m trên nửa đường tròn; đường tròn đường kính AD tiếp sức với AB
Cho đường tròn (O) bán kính R và đường thằng (d) không đi qua O , cắt đường tròn (O lại 2 điểm E,F . Lấy điểm M bất kì trên tia đối Fe, qua M kẻ 2 tiếp tuyến MC,MD với đường tròn ( C,D) là các tiếp điểm 1. chứng minh tứ giác MCOD nội tiếp trong một đường tròn
2. gọi K là trung điểm EF . chứng minh KM là phân giác góc CKD
3. đường thẳng đi qua O và vuông góc với MO cắt các tia MC,MD theo thứ tự tại R,T . tìm vị trí của điểm M trên (d) sao cho diện tích tam giác MRT nhỏ nhất
2. Cho nửa đường tròn(O,R) đường kính AB . Từ một điểm M trên nửa đường tròn , vẽ tiếp tuyến xy .Kẻ AD và BC cùng vuông góc với xy (với D và C thuộc xy)
a, chứng minh rằng MC=MD và AD+BC=2R
b, chứng minh đường tròn đường kính CD tiếp xúc với AB
c, tìm vị trí điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho MA.MB đạt giá trị lớn nhất
a: ΔOCD cân tại O
mà OH là đường cao
nên OH là phân giác của góc COD
Xét ΔOCM và ΔODM có
OC=OD
góc COM=góc DOM
OM chung
Do đo: ΔOCM=ΔODM
=>góc ODM=90 độ
=>DM là tiếptuyến của (O)
b: Xét ΔMCF và ΔMEC có
góc MCF=góc MEC
góc CMF chung
Do đó: ΔMCF đồng dạng với ΔMEC
=>MC/ME=MF/MC
=>MC^2=ME*MF=MH*MO
Cho đường tròn (o) đường kính AB=2R . gọi E là điểm tùy ý trên đường tròn (E khác A,B) . qua E kẻ tiếp tuyến d với đường tròn . gọi C,D lần lượt là các hình chiếu vuông góc của A và B trên d
a) chứng minh EC=ED
b) chứng minh tổng (AC+BD) có giá trị không phụ thuộc vào vị trí điểm E
c) chứng minh đường tròn đường kính CD tieps xúc với 3 đường thẳng AC , BD và AB
d) xác định vị trí điểm E để diện tích tứ giác ABDC là lớn nhất
Cho đường tròn (O;R) và một điểm M bên trong đường tròn đó. Qua M kẻ hai dây cung AB và CD vuông góc với nhau (C thuộc cung nhỏ AB)
Vẽ đường kính DE. Chứng minh rằng:
a)MA × MB=MC ×MD.
b) tứ giác ABCE là hình thang cân.
C)MA^2+MB^2+MC^2 + MD^2 có giá trị không đổi khi M thay đổi vị trí trong đường tròn (O).
a) Xét (O;R) có:
\(\widehat{BCD}\)là góc nt chắn cung BC
\(\widehat{BAC}\)là góc nt chắn cung BC
\(\Rightarrow\widehat{BCD}=\widehat{BAC}=sđ\widebat{BC}\)
Vì dây \(AB\perp CD\)tại M nên \(\widehat{M}=90^o\)
Xét \(\Delta ACM\)và \(\Delta DBM\):
\(\hept{\begin{cases}\widehat{AMC}=\widehat{DMB}=90^o\\\widehat{BAC}=\widehat{BCD}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\Delta ACM\infty\Delta DBM\left(gg\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AM}{DM}=\frac{MC}{MB}\Rightarrow AM.MB=MC.DM\)
b) Vì \(\Delta ACM\infty DBM\Rightarrow\widehat{ACM}=\widehat{DBM}\)
Xét \(\left(O;R\right):\)
\(\Delta CDE\)nt (O), cạnh DE là đường kính\(\Rightarrow\Delta CDE\)vuông tại C\(\Rightarrow CD\perp CE\Rightarrow\widehat{DCE}=90^o\)
\(\Delta BDE\)nt \(\left(O\right),\)cạnh DE là đường kính\(\Rightarrow\Delta BDE\)vuông tại B\(\Rightarrow\widehat{DBE}=90^o\)
Có\(\widehat{MAC}+\widehat{ACM}=90^o\Rightarrow\widehat{MAC}=90^o-\widehat{ACM}\)
Và \(\widehat{ABE}+\widehat{DBM}=90^o\Rightarrow\widehat{ABE}=90^o-\widehat{DBM}\)
Mà \(\widehat{ACM}=\widehat{DBM}\)\(\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{ABE}\)
Do \(AB\perp CD,CD\perp CE\Rightarrow AB//CE\)
Xét tg ABCE có:
\(AB//CE\)
\(\widehat{MAC}=\widehat{ABE}\)
\(\Rightarrow Tg\)ABCE là hthang cân
c) Áp dụng đ/lí Pi-ta-go lần lượt vào các \(\Delta AMC,\Delta BCM;\Delta BDM;\Delta ADM;\Delta BDE\)có:
\(AM^2=AC^2-CM^2\)(1)
\(MB^2=BC^2-CM^2\)(2)
\(MC^2=BC^2-BM^2\)(3)
\(MD^2=BD^2-BM^2\)(4)
\(DE^2=BD^2+BE^2\)(5)
Công từng vế của (1)(2)(3)(4) ta đc đẳng thức:
\(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2=AC^2-CM^2+BC^2-CM^2+BC^2-BM^2+BD^2-BM^2\)
\(=AC^2+2BC^2-2CM^2-BM^2+BD^2-BM^2\)
\(=AC^2+2BM^2-BM^2+BD^2-BM^2\)(vì \(BM^2=BC^2-CM^2\))
\(=AC^2+BD^2\)
\(=BE^2+BD^2\)(vì AC=BE do ABCE là hthang cân)
\(=DE^2\)(c/m (5))
Mà DE là đường kính của (O) nên DE=2R\(\Rightarrow DE^2=\left(2R\right)^2=4R^2\)
Vậy \(MA^2+MB^2+MC^2+MD^2\)có g/trị ko đổi khi M thay đổi trong (O)
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R, M là 1 điểm tùy ý trên nửa đường tròn (M khác A, B). Kẻ 2 tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Qua M kẻ tiếp tuyến thứ 3 lần lượt cắt Ax, By tại C, D
a) Chứng minh CD = AC + BD và góc COD = 90 độ
b, Chứng minh OC // BM
c,Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
d,Chứng minh MN ⊥ AB .Gọi H là giao điểm của MN và AB (H thuộc AB ) .Chứng minh N là trung điểm của MH
cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác 0) đường thẳng CM cắt đường tròn tâm O tại điểm thứ hai N. Đường thẳng vuông góc với AB tại M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm P. Chứng minh rằng:
a. Tứ giác OMNP nội tiếp được đường tròn
b. Tứ giác CMPO là hình bình hành
C. Tính CM, CN không phụ thuộc vào vị trí M
1. Ta có ÐOMP = 900 ( vì PM ^ AB ); ÐONP = 900 (vì NP là tiếp tuyến ).
Như vậy M và N cùng nhìn OP dưới một góc bằng 900 => M và N cùng nằm trên đường tròn đường kính OP => Tứ giác OMNP nội tiếp.
2. Tứ giác OMNP nội tiếp => ÐOPM = Ð ONM (nội tiếp chắn cung OM)
Tam giác ONC cân tại O vì có ON = OC = R => ÐONC = ÐOCN
=> ÐOPM = ÐOCM.
Xét hai tam giác OMC và MOP ta có ÐMOC = ÐOMP = 900; ÐOPM = ÐOCM => ÐCMO = ÐPOM lại có MO là cạnh chung => DOMC = DMOP => OC = MP. (1)
Theo giả thiết Ta có CD ^ AB; PM ^ AB => CO//PM (2).
Từ (1) và (2) => Tứ giác CMPO là hình bình hành.
3. Xét hai tam giác OMC và NDC ta có ÐMOC = 900 ( gt CD ^ AB); ÐDNC = 900 (nội tiếp chắn nửa đường tròn ) => ÐMOC =ÐDNC = 900 lại có ÐC là góc chung => DOMC ~DNDC
=> => CM. CN = CO.CD mà CO = R; CD = 2R nên CO.CD = 2R2 không đổi => CM.CN =2R2không đổi hay tích CM. CN không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
.