Vì \(\Delta ACB\)cân tại A (gt)

=>AB=AC

Vì E và D lần lượt là trung điểm của AB và AC

=>AE=EB

    AD=DC

Mà AB=AC

=>AE=AD

=>\(\Delta AED\)cân ở A

Vẽ hình nha mình đang vội hứa mai sẽ tích

a) Xét tam giác ABC có:

\(DE//BC\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\widehat{ADE}=\widehat{ABC}\\\widehat{AED}=\widehat{ACB}\end{matrix}\right.\) (đồng vị)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(Tam giác ABC cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) => Tam giác ADE cân tại A

b) Xét tam giác ABE và tam giác ACD có:

\(AB=AC\)(Tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat{BAC}\) chung

\(AD=AE\) (Tam giác ADE cân tại A)

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta ACD\left(c.g.c\right)\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACD}\)

Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (Tam giác ABC cân tại A)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}-\widehat{ABE}=\widehat{ACB}-\widehat{ACD}\Rightarrow\widehat{OBC}=\widehat{OCB}\)

=> Tam giác OBC cân tại O

a: Xét ΔADB và ΔAEC có

góc A chung

AB=AC
góc ABD=góc ACE

=>ΔADB=ΔAEC

=>AD=AE

b: Xét ΔABC có AE/AB=AD/AC

nên ED//BC

ED//BC

=>góc EDB=góc DBC

=>góc EDB=góc EBD

=>ED=EB

Xét tứ giác BEDC có

DE//BC

BD=CE

=>BEDC là hình thang cân

=>EB=DC=ED

c: Xét ΔOBC có góc OBC=góc OCB

nên ΔOBC cân tại O

=>OB=OC

OB+OD=BD

OC+OE=CE
mà OB=OC và BD=CE

nên OD=OE

=>ΔODE cân tạiO

Bài 1 :

a) Ta có : \(\hept{\begin{cases}AM=MB\\AN=NC\end{cases}\Rightarrow}\)MN là đường trung bình tam giác ABC \(\Rightarrow MN\text{//}BC\) hay \(MN\text{//}HK\left(1\right)\)

Dễ thấy MNKB là hình bình hành => \(\widehat{MNK}=\widehat{ABC}=\widehat{MHB}\)(Vì tam giác AHB vuông có HM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền.) . Mặt khác : \(\widehat{MNK}=\widehat{CKN}\)(hai góc ở vị trí so le trong)

=> \(\widehat{MHB}=\widehat{CKN}\). Mà hai góc này lần lượt bù với \(\widehat{MHK}\)và \(\widehat{HKN}\)=> \(\widehat{MHK}=\widehat{HKN}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MNKH là hình thang cân.

b) Dễ thấy HK là đường trung bình tam giác AED => HK // ED hay BC // ED (3) 

Tương tự , MH và NK lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ABE và ACD

=> BE = 2MH ; CD = 2NK mà MH = NK (MNKH là hình thang cân - câu a)

=> BE = CD (4)

Từ  (3) và (4) suy ra BCDE là hình thang cân.

Bài 2 :

a) Ta có : \(\widehat{BAD}=\widehat{CAE}=90^o\Rightarrow\widehat{BAD}+\widehat{DAE}=\widehat{CAE}+\widehat{DAE}\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\)

Xét tam giác BAE và tam giác CAD có : \(AB=AD\left(gt\right)\); \(AC=AE\left(gt\right)\) ; \(\widehat{BAE}=\widehat{CAD}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta BAE=\Delta CAD\left(c.g.c\right)\Rightarrow CD=BE\)

b) Dễ dàng chứng minh được MP và PN lần lượt là các đường trung bình của các tam giác ACD và tam giác BEC 

=> MP = 1/2CD ; PN = 1/2 BE mà CD = BE => MP = PN => tam giác MNP cân tại P

Để chứng minh góc MPN = 90 độ , hãy chứng minh BE vuông góc với CD.

bạn là fan j.fla hử. tui cũng thế nè

Ta có: ΔABC đều, D ∈ AB, DE⊥AB, E ∈ BC
=> ΔBDE có các góc với số đo lần lượt là: 300
; 600
; 900
 => BD=1/2BE
Mà BD=1/3BA => BD=1/2AD => AD=BE => AB-AD=BC-BE (Do AB=BC)
=> BD=CE. 
Xét ΔBDE và ΔCEF: ^BDE=^CEF=900
; BD=CE; ^DBE=^ECF=600
=> ΔBDE=ΔCEF (g.c.g) => BE=CF => BC-BE=AC-CF => CE=AF=BD
Xét ΔBDE và ΔAFD: BE=AD; ^DBE=^FAD=600
; BD=AF => ΔBDE=ΔAFD (c.g.c)
=> ^BDE=^AFD=900
 =>DF⊥AC (đpcm).
b) Ta có: ΔBDE=ΔCEF=ΔAFD (cmt) => DE=EF=FD (các cạnh tương ứng)
=> Δ DEF đều (đpcm).
c) Δ DEF đều (cmt) => DE=EF=FD. Mà DF=FM=EN=DP => DF+FN=FE+EN=DE+DP <=> DM=FN=EP
Lại có: ^DEF=^DFE=^EDF=600=> ^PDM=^MFN=^NEP=1200
 (Kề bù)
=> ΔPDM=ΔMFN=ΔNEP (c.g.c) => PM=MN=NP => ΔMNP là tam giác đều.
d) Gọi AH; BI; CK lần lượt là các trung tuyến của  ΔABC, chúng cắt nhau tại O.
=> O là trọng tâm ΔABC (1)
Do ΔABC đều nên AH;BI;BK cũng là phân giác trong của tam giác => ^OAF=^OBD=^OCE=300
Đồng thời là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác => OA=OB=OC
Xét 3 tam giác: ΔOAF; ΔOBD và ΔOCE:
AF=BD=CE
^OAF=^OBD=^OCE      => ΔOAF=ΔOBD=ΔOCE (c.g.c)
OA=OB=OC
=> OF=OD=OE => O là giao 3 đường trung trực  Δ DEF hay O là trọng tâm Δ DEF (2)
(Do tam giác DEF đề )
/

(Do tam giác DEF đều)
Dễ dàng c/m ^OFD=^OEF=^ODE=300
 => ^OFM=^OEN=^ODP (Kề bù)
Xét 3 tam giác: ΔODP; ΔOEN; ΔOFM:
OD=OE=OF
^ODP=^OEN=^OFM          => ΔODP=ΔOEN=ΔOFM (c.g.c)
OD=OE=OF (Tự c/m)
=> OP=ON=OM (Các cạnh tương ứng) => O là giao 3 đường trung trực của  ΔMNP
hay O là trọng tâm ΔMNP (3)
Từ (1); (2) và (3) => ΔABC; Δ DEF và ΔMNP có chung trọng tâm (đpcm).

b) Xét ΔEBC vuông tại E và ΔFCB vuông tại F có 

BC chung

\(\widehat{ECB}=\widehat{FBC}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

Do đó: ΔEBC=ΔFCB(cạnh huyền-góc nhọn)

Suy ra: \(\widehat{EBC}=\widehat{FCB}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

Xét ΔBIC có \(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)(cmt)

nên ΔIBC cân tại I(Định lí đảo của tam giác cân)

a) Xét ΔABE vuông tại E và ΔACF vuông tại F có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAE}\) chung

Do đó: ΔABE=ΔACF(Cạnh huyền-góc nhọn)

Bổ sung đề: D và E lần lượt là trung điểm của AB và AC

a) Ta có: \(AD=DB=\dfrac{AB}{2}\)(D là trung điểm của AB)

\(AE=EC=\dfrac{AC}{2}\)(E là trung điểm của AC)

mà AB=AC(ΔABC cân tại A)

nên AD=DB=AE=EC

Xét ΔABE và ΔACD có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAE}\) chung

AE=AD(cmt)

Do đó: ΔABE=ΔACD(c-g-c)

b) Ta có: ΔABE=ΔACD(cmt)

nên BE=CD(hai cạnh tương ứng)

c) Xét ΔDBC và ΔECB có

DB=EC(cmt)

\(\widehat{DBC}=\widehat{ECB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)

BC chung

Do đó: ΔDBC=ΔECB(c-g-c)

Suy ra: \(\widehat{DCB}=\widehat{EBC}\)(hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)

Xét ΔKBC có \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)(cmt)

nên ΔKBC cân tại K(Định lí đảo của tam giác cân)

d) Xét ΔABK và ΔACK có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)AK chung

BK=CK(ΔKBC cân tại K)Do đó: ΔABK=ΔACK(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)(hai góc tương ứng)

mà tia AK nằm giữa hai tia AB,AC

nên AK là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)

a) Xét ΔABN và ΔACM có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

\(\widehat{BAN}\) chung

AN=AM(gt)

Do đó: ΔABN=ΔACM(c-g-c)

Suy ra: BN=CM(hai cạnh tương ứng)

b) Xét ΔAHB và ΔAHC có 

AB=AC(ΔABC cân tại A)

AH chung

HB=HC(H là trung điểm của BC)

Do đó: ΔAHB=ΔAHC(c-c-c)

Suy ra: \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHB}+\widehat{AHC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{AHB}=\widehat{AHC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

hay AH⊥BC(đpcm)

c) Ta có: AH⊥BC(cmt)

mà H là trung điểm của BC(gt)

nên AH là đường trung trực của BC

⇔EH là đường trung trực của BC

⇔EB=EC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)

Xét ΔEBC có EB=EC(cmt)

nên ΔEBC cân tại E(Định nghĩa tam giác cân)