Chứng minh: \(\frac{3}{2}\ge sin\frac{A}{2}+sin\frac{B}{2}+sin\frac{C}{2}>1\)
P/s: Không dùng bất đẳng thức lượng giác hoặc đẳng thức lượng giác của lớp 10 (nếu dùng thì phải chứng minh lại bằng kiến thức lớp 9)
Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:
a) \({\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \)
b) \(\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\)
a) Ta có:
\(\begin{array}{l}{\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha } \right) = 1 - 2{\cos ^2}\alpha \\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha - 1 + 2{\cos ^2}\alpha = 0\\ \Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 1 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 0 = 0\end{array}\)
Đẳng thức luôn đúng
b) Ta có:
\(\begin{array}{l}\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} + \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{\cos \alpha .\sin \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }} = \frac{1}{{\sin \alpha .\cos \alpha }}\end{array}\)
Đẳng thức luôn đúng
Chứng minh đẳng thức lượng giác:
\(\begin{array}{l}a)\;sin(\alpha + \beta ).sin(\alpha - \beta ) = si{n^2}\alpha - si{n^2}\beta \\b)\;co{s^4}\alpha - co{s^4}\left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) = cos2\alpha \end{array}\)
\(a)\;sin(\alpha + \beta ).sin(\alpha - \beta ) = \;\frac{1}{2}.\left[ {cos\left( {\alpha + \beta - \alpha + \beta } \right) - cos\left( {\alpha + \beta + \alpha - \beta } \right)} \right]\)
\(\begin{array}{l} = \;\frac{1}{2}.(cos2\beta - cos2\alpha ) = \;\frac{1}{2}.(1 - 2si{n^2}\beta - 1 + 2si{n^2}\alpha )\\ = si{n^2}\alpha - si{n^2}\beta \end{array}\)
\(\begin{array}{l}b)\;co{s^4}\alpha - co{s^4}\left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) = \;co{s^4}\alpha - si{n^4}\alpha \\ = \;(co{s^2}\alpha + si{n^2}\alpha )(co{s^2}\alpha - si{n^2}\alpha )\\ = \;co{s^2}\alpha -si{n^2}\alpha = cos2\alpha .\end{array}\)
Chứng minh bất đẳng thức sau: \(\sin\frac{\pi}{15}\sin\frac{\pi}{12}-\cos\frac{\pi}{15}\cos\frac{\pi}{12}:2\sin\frac{7\pi}{12}=\frac{-1}{2}\)
Chứng minh bất đẳng thức :
\(\sin\frac{x+y}{2}\ge\frac{1}{2}\left(\sin x+\sin y\right)\) với 0 < x,y ,180
Giuspmifnh với nhá !!!
Cho tam giác ABC như Hình 10.
a) Viết công thức tính diện tích S của tam giác ABC theo a và \({h_a}\)
b) Tính \({h_a}\) theo b và sinC.
c) Dùng hai kết quả trên để chứng minh công thức \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)
d) Dùng định lí sin và kết quả ở câu c) để chứng minh công thức \(S = \frac{{abc}}{{4R}}\)
a) Diện tích S của tam giác ABC là: \(S = \frac{1}{2}a.{h_a}\)
b) Xét tam giác vuông AHC ta có: \(\sin C = \frac{{AH}}{{AC}} = \frac{{{h_a}}}{b}\)
\( \Rightarrow {h_a} = b.\sin C\)
c) Thay \({h_a} = b.\sin C\) vào công thức diện tích, ta được: \(S = \frac{1}{2}ab\sin C\)
d) Theo định lí sin ta có: \(\frac{c}{{\sin C}} = 2R \Rightarrow \sin C = \frac{c}{{2R}}\)
Thay vào công thức ở c) ta được: \(S = \frac{1}{2}ab\frac{c}{{2R}} = \frac{{abc}}{{4R}}.\)
Cho tam giác ABC có \(\hat B = {75^0};\hat C = {45^0}\) và \(a = BC = 12\;cm\).
a) Sử dụng công thức \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) và định lí sin, hãy chứng minh diện tích của tam giác \(ABC\;\)cho bởi công thức \(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\)
b) Sử dụng kết quả ở câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, hãy tính diện tích S của tam giác ABC.
a) Theo định lý sin: \(\frac{a}{{\sin A}} = \frac{b}{{\sin B}} \to b = \frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}\) thay vào \(S = \frac{1}{2}ab.\sin C\) ta có:
\(S = \frac{1}{2}ab.\sin C = \frac{1}{2}a.\frac{{a.\sin B}}{{\sin A}}.sin C = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}}\) (đpcm)
b) Ta có: \(\hat A + \hat B + \hat C = {180^0} \Rightarrow \hat A = {180^0} - {75^0} - {45^0} = {60^0}\)
\(S = \frac{{{a^2}\sin B\sin C}}{{2\sin A}} = \frac{{{{12}^2}.\sin {{75}^0}.\sin {{45}^0}}}{{2.\sin {{60}^0}}} = \frac{{144.\frac{1}{2}.\left( {\cos {{30}^0} - \cos {{120}^0}} \right)}}{{2.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\;}} = \frac{{72.(\frac{{\sqrt 3 }}{2}-\frac{{-1 }}{2}})}{{\sqrt 3 }} = 36+12\sqrt 3 \)
chứng minh nếu tam giác ABC có 3 góc A , B , C và 3 cạnh a , b , c thỏa mãn đẳng thức sau thì tam giác ABC vuông : \(\frac{b}{\cos B}\) + \(\frac{c}{\cos C}\) = \(\frac{a}{\sin B.\sin C}\)
Dùng bất đẳng thức Schwarz chứng minh bất đẳng thức sau:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\)
\(=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có:
\(\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\)
Ta c/m BĐT phụ: \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2\)( b tự c/m nhé. Chuyển vế, c/m VP>=0 là xong )
\(\Rightarrow\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ab+bc}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(ab+bc+ca\right)}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
đpcm
\(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}.\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3.\left(ab+bc+ca\right)\le\left(a+b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3.\left(ab+bc+ca\right)\le a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)( BĐT luôn đúng)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\frac{1}{3}.\left(a+b+c\right)^2\)
đpcm
chứng minh nếu tam giác ABC có 3 góc A , B , C và 3 cạnh a , b , c thỏa mãn đẳng thức sau thì tam giác ABC vuông : \(\frac{b}{\cos B}\) + \(\frac{c}{\cos C}\) = \(\frac{a}{\sin B\times\sin C}\)
định lý hàm số sin:
a/ \(\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\)2R
=> a = 2R.sinA = 2R.sin[180o - (B+C)] = 2R.sin(B+C)
và b = 2R.sinB; c = 2R.sinC thay vào (*) được:
\(\frac{2R\times sinB}{cosB}+\frac{2R\times sinC}{cosC}=\frac{2R\times sin\left(B+C\right)}{sinBsinC}\)
<=>sinB/cosB + sinC/cosC = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> sin(B+C)/(cosBcosC) = sin(B+C)/(sinB.sinC)
<=> cosBcosC = sinB.sinC
<=> cosBcosC - sinB.sinC = 0
<=> cos(B+C) = 0
<=> B+C = 90o
vậy tam giác ABC vuông tại A