1) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu thì

\(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\\Delta'>0\\P< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\-m+4>0\\\dfrac{m-3}{m}< 0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}m\ne0\\m< 4\\m< 3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) 0\(\ne\)m<3.

Vậy: với 0\(\ne\)m<3, phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.

2) Thừa hưởng từ kết quả câu 1, để nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn thì S<0 \(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{-2\left(m-2\right)}{m}\)<0 \(\Leftrightarrow\) m>2.

Vậy: với 2<m<3, phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

3) Với 0\(\ne\)m<4 (điều kiện để phương trình có hai nghiệm):

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-2\left(m-2\right)}{m}\\x_1x_2=\dfrac{m-3}{m}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{4}{m}-2\\x_1x_2=1-\dfrac{3}{m}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{x_1+x_2+2}{4}=\dfrac{1}{m}\\\dfrac{1-x_1x_2}{3}=\dfrac{1}{m}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) 3x₁+3x₂+4x₁x₂+2=0.

4) Với 0\(\ne\)m<4 (điều kiện để phương trình có hai nghiệm):

A=x₁²+x₂²=(x₁+x₂)²-2x₁x₂=\(\left(\dfrac{-2\left(m-2\right)}{m}\right)^2-2.\dfrac{m-3}{m}\)=\(2-\dfrac{10}{m}+\dfrac{16}{m^2}\)=\(\left(\dfrac{4}{m}-\dfrac{5}{4}\right)^2+\dfrac{7}{16}\)\(\ge\dfrac{7}{16}\).

Dấu "=" xảy ra khi x=16/5 (nhận).

Vậy minA=7/16 tại m=16/5.

b: Thay x=-5 vào pt, ta được:

\(m+25+65=0\)

hay m=-90

Theo đề, ta có: \(x_1+x_2=13\)

nên \(x_2=18\)

c: Thay x=-3 vào pt, ta được:

\(18+3\left(m+4\right)+m=0\)

=>4m+30=0

hay m=-15/2

Theo đề, ta có: \(x_1\cdot x_2=-\dfrac{m}{2}=\dfrac{15}{4}\)

hay \(x_2=-1.25\)

x²-2(m-1)x+m²-3m=0

△'=[-(m-1)]²-1(m²-3m)=(m-1)²-(m²-3m)=m²-2m+1-m²+3m= m+1

áp dụng hệ thức Vi-ét ta được 

x1+x2=2(m-1)                                               (1)

x1*x2=m²-3m                                         (2)  

a) để PT có 2 nghiệm phân biệt khi m+1>0 <=> m>-1

b) để PT có duy nhất một nghiệm âm thì x1*x2 <0

e) Áp dụng hệ thức Vi-et, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1x_2=m^2-3m\end{matrix}\right.\)

Ta có: \(x_1^2+x_2^2=8\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=8\)

\(\Leftrightarrow\left(2m-2\right)^2-2\cdot\left(m^2-3m\right)-8=0\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4-2m^2+6m-8=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-2m-4=0\)(1)

\(\Delta=\left(-2\right)^2-4\cdot2\cdot\left(-4\right)=4+32=36\)

Vì \(\Delta>0\) nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt là:

\(\left\{{}\begin{matrix}m_1=\dfrac{2-\sqrt{36}}{4}=\dfrac{2-6}{4}=-1\\m_2=\dfrac{2+\sqrt{36}}{4}=\dfrac{2+6}{4}=2\end{matrix}\right.\)

Vậy: Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn \(x_1^2+x_2^2=8\) thì \(m\in\left\{-1;2\right\}\)

\(mx-x-m+2=0\)

\(x\left(m-1\right)=m-2\)

Nếu m=1 ⇒ \(0x=-1\) (vô nghiệm)

Nếu m≠1 ⇒ \(x=\dfrac{m-2}{m-1}\)

Vậy ...

a) Thay \(x=0\) vào phương trình ta có:

\(\left(m-1\right).0^2-2m.0+m+1=0.\\ \Leftrightarrow m+1=0.\\ \Leftrightarrow m=-1.\)

b) Ta có: \(\Delta'=m^2-\left(m-1\right)\left(m+1\right).\)

 \(\Delta'=m^2-\left(m^2-1\right).\\ =m^2-m^2+1.\\ =1>0.\)

\(\Rightarrow\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2.\)

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1.x_2=\dfrac{m+1}{m-1}.\\x_1+x_2=\dfrac{2m}{m-1}.\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Theo đề bài: \(x_1.x_2=5.\)

\(\Rightarrow\dfrac{m+1}{m-1}=5.\\ \Leftrightarrow m+1=5m-5.\\ \Leftrightarrow4m-6=0.\\ \Leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}.\)

Thay \(m=\dfrac{3}{2}\) vào \(\left(1\right):\)

\(x_1+x_2=\) \(\dfrac{2.\dfrac{3}{2}}{\dfrac{3}{2}-1}=\dfrac{3}{\dfrac{1}{2}}=6.\)

a) x = 0 là nghiệm của phương trình

=> (m-1).0² -2.m.0 + m + 1 = 0

<=> m + 1 = 0 <=> m = -1

vậy m = -1 thì pt có nghiệm là x = 0

b) PT có 2 nghiệm thì trước hết pt đã cho là phương trình bậc 2 <=> m - 1\(\ne\) 0 <=> m \(\ne\)1

 \(\Delta\)' = (-m)² - (m - 1)(m +1) = m² - (m² - 1) = 1 > 0

=> phương trình đã cho có 2 nghiệm là:

x₁ = \(\frac{m+1}{m-1}\) ; x₂ = \(\frac{m-1}{m-1}\) = 1

+) Để x₁ .x₂ = 5 <=> \(\frac{m+1}{m-1}\) = 5 <=> m +1 = 5( m - 1)

<=> m +1 = 5m - 5

<=> 6 = 4m <=> m = 3/2 (Thoả mãn)

+) Khi đó x₁  + x₂ = \(\frac{m+1}{m-1}\) + 1 = \(\frac{m+1+m-1}{m-1}=\frac{2m}{m-1}=\frac{2.\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6\)

Mình không đồng ý với phần tìm đen-ta của bạn Trần Thị Loan

Phương trình (m-1)x² - 2mx + m + 1 = 0 ( a=m-1; b=-2m; c=m+1)

​đen-ta = (-2m)² - 4.(m-1).(m=1)=4

Vì đen-ta = 4 > 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Phần b) còn cách 2 ngắn hơn như sau :

Để (m-1)x² - 2mx + m + 1 = 0 thì m-1\(\ne\)0 \(\Leftrightarrow m\ne1\)

Vì x₁ và x₂ là 2 nghiệm của phương trình nên áp dụng hệ thức Vi-ét ta có :

\(x_1.x_2=5\\ \Leftrightarrow\frac{m+1}{m-1}=5\\ \Leftrightarrow m+1=5.\left(m-1\right)\\ \Leftrightarrow m+1=5m-5\\ \Leftrightarrow-4m=-6\\ m=\frac{3}{2}\left(tmđk\right)\)

Vậy \(m=\frac{3}{2}\)thì phương trình có tích hai nghiệm bằng 5 

\(x_1+x_2=\frac{m+1}{m-1}+1=\frac{m+1}{m-1}+\frac{m-1}{m-1}=\frac{m+1+m-1}{m-1}=\frac{2m}{m-1}\left(1\right)\)

Thay \(m=\frac{3}{2}\)vào (1) ta được :

\(\frac{2.\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}-1}=\frac{3}{\frac{1}{2}}=6\)

a. Bạn tự giải

b. Pt có nghiệm kép khi:

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-4m=0\Leftrightarrow m^2-2m+1=0\Leftrightarrow m=1\)

Khi đó: \(x_{1,2}=m+1=2\)

c. Do pt có nghiệm bằng 4:

\(\Rightarrow4^2-2\left(m+1\right).4+4m=0\)

\(\Leftrightarrow8-4m=0\Rightarrow m=2\)

\(x_1x_2=4m\Rightarrow x_2=\dfrac{4m}{x_1}=\dfrac{4.2}{4}=2\)

\(x^2-\left(2m+3\right)x+m^2+3m+2=0\left(1\right).\)

a, Với m = 1, \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-7m+6=0\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m-6\right)\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=1\\m=6\end{cases}}\)

b, Với x = 2 \(\left(1\right)\Leftrightarrow4-2\left(2m+3\right)+m^2+3m+2=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-m=0\Leftrightarrow m\left(m-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=0\\m=1\end{cases}}\)

Với m = 0, \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-3x+2=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(x-1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=2\\x=1\end{cases}}\)

Với m = 1, \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2-5x+6=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x-2\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=2\end{cases}}\)

c, \(\Delta=4m^2+12m+9-4m^2-12m-8=1>0\)

Vì \(\Delta>0\)nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

d, Theo vi-ét ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+3\left(1\right)\\x_1.x_2=m^2+3m+2\left(2\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(x_1^2+x_2^2=1\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(2m+3\right)^2-2\left(m^2+3m+2\right)=1\)

\(\Leftrightarrow4m^2+12m+9-2m^2-6m-4-1=0\)

\(\Leftrightarrow2m^2-6m-4=0\Leftrightarrow m^2-3m-2=0\Leftrightarrow m=\frac{3\pm\sqrt{17}}{2}\)

c, Phương trình có nghiệm này bằng 3 nghiệm kia:\(\Leftrightarrow x_1=3x_2\left(3\right)\)

Kết hợp (1) và (3) ta có hệ : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+3\\x_1=3x_2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x_1=\frac{6m+9}{5}\\x_2=\frac{2m+3}{5}\end{cases}}\left(I\right)}\)

Kết hợp (I) và (2) ta được: \(\frac{\left(6m+9\right)\left(2m+3\right)}{25}=m^2+3m+2\)

\(\Leftrightarrow25m^2+75m+50=12m^2+36m^2+27\)

\(\Leftrightarrow13m^2+39m^2+23=0\)

...

Ra số lẻ thấy nghi ngờ vl.