Giả sử 4 số a, b, c thỏa mãn điều kiện a b a b c d c d 2 2 + + + = + + + ( )2 2 2 2 ( ) . Chứng
minh rằng: a b a b c d c d .
Những câu hỏi liên quan
Câu 1:
a, Giả sử n là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n(n+1) +6 không chia hết cho 3. Chứng minh rằng 2n^2+n+8 không là số chính phương
b, cho 4 số dương a;b;c;d thỏa mãn điều kiện a^4/b + c^4/d = 1/(b+d) và a^2 + c^2 =1 . Chứng minh rằng (a^2014)/(b^1007) + ( c^ 2014)/(d^1007) = 2/( b+d)^1007
.Mọi người giải giúp Linh nha ^^ Linh đang cần gấp ạ!
cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn điều kiện a^2+b^2+(a-b)^2=c^2+d^2+(c-d)^2.
C/m rằng a^4+b^4=(a-d)^4=c^4+d^4
Cho 4 số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện a+b+c+d=2
Chứng minh rằng :\(a^2+b^2+c^2+d^2>=1\)
Áp dụng liên tiếp BĐT quen thuộc \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\) ta được :
\(\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+d^2\right)\) \(\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}+\frac{\left(c+d\right)^2}{2}\)
\(=\frac{\left(a+b\right)^2+\left(c+d\right)^2}{2}\ge\frac{\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2}}{2}=\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=\frac{2^2}{4}=1\)
Do đó : \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge1\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
Theo Svacxo ta có : \(LHS\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{4}=\frac{2^2}{4}=1\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d=\frac{1}{2}\)
Cho các số thực dương \(a;b;c;d\) thỏa mãn điều kiện \(a+b+c+d=4\). Chứng minh rằng
\(\dfrac{1}{a^2+b+c+d}+\dfrac{1}{b^2+c+d+a}+\dfrac{1}{c^2+d+a+b}+\dfrac{1}{d^2+a+b+c}\le1\)
P/s: Em xin phép quý thầy cô giáo và các bạn yêu toán, em nhờ mọi người vui lòng giúp đỡ em với ạ!
Em cám ơn nhiều lắm ạ!
Bunhiacopxki:
\(\left(a^2+b+c+d\right)\left(1+b+c+d\right)\ge\left(a+b+c+d\right)^2=16\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a^2+b+c+d}\le\dfrac{1+b+c+d}{16}\)
Tương tự:
\(\dfrac{1}{b^2+c+d+a}\le\dfrac{1+c+d+a}{16}\) ; \(\dfrac{1}{c^2+d+a+b}\le\dfrac{1+d+a+b}{16}\)
\(\dfrac{1}{d^2+a+b+c}\le\dfrac{1+a+b+c}{16}\)
Cộng vế:
\(P\le\dfrac{4+3\left(a+b+c+d\right)}{16}=1\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d=1\)
Đúng 1
Bình luận (1)
cho các số dương a,b,c,d thỏa mãn điều kiện abcd=1. chứng minh rằng
\(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\ge12\)
Ta có: \(a^2+b^2+c^2+d^2\ge4\sqrt[4]{\left(abcd\right)^2}=4\)(AM-GM) (abcd=1)
Lại có: \(a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\)
\(=ab+ac+bc+bd+cd+ac+ad+bd\)
\(\ge8\sqrt[8]{\left(abcd\right)^4}=8\)(AM-GM)
Từ đó:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+c\left(d+a\right)+d\left(a+b\right)\ge4+8=12\)
=> ĐPCM. Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=d=1.
Đúng 0
Bình luận (0)
cho năm số a,b,c,d,e khác 0 thỏa mãn điều kiện b2=a*c; c2=b*d; d2=c*e
Chứng minh rằng \(\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}=\frac{a}{e}\)
Thay b^4=(ac)^2 và tương tự với d^4
Từ đó đặt thừa số chung và sẽ ra kết quả!
Đúng 0
Bình luận (0)
tìm số nguyên a,b ,c ,d biết a,b,c,d thỏa mãn với điều kiện sau:a+b+c+d=1,a+c+d=2,a+b+d=3,a+b+c=4
Từ a+c+d=2 => a+b+c+d = 2+b
a+b+c+d = 1 => 2+b=1 (=a+b+c+d) => b = -1
Tương tự từ a+b+d=3 ta được 3+c = 1
Từ a+b+c=4 ta được 4+d=1
=> b=-1 ; c=-2; d=-3 và tất nhiên a = 7
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho a,b,c,d là các số dương thỏa mãn điều kiện: \(a^2+b^2+\left(a-b\right)^2=c^2+d^2+\left(c-d\right)^2\)
CMR: \(a^4+b^4+\left(a-b\right)^4=c^4+d^4+\left(c-d\right)^4\)
Nhận xét:Ghi nhớ tam giác Pascal cho bậc 4:\(1\rightarrow4\rightarrow6\rightarrow4\rightarrow1\)
cần cù bù thông minh :)
\(a^2+b^2+\left(a-b\right)^2=c^2+d^2+\left(c-d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+a^2-2ab+b^2=c^2+d^2+c^2-2cd+d^2\)
\(\Leftrightarrow a^2-ab+b^2=c^2-cd+d^2\)
\(\Rightarrow\left(a^2-ab+b^2\right)^2=\left(c^2-cd+d^2\right)^2\) ( mạnh dạn bình phương )
\(\Leftrightarrow a^4+a^2b^2+b^4-2a^3b-2ab^3+2a^2b^2=c^4+c^2d^2+d^4-2c^3d-2cd^3+2c^2d^2\)
\(\Leftrightarrow a^4+3a^2b^2+b^4-2a^3b-2ab^3=c^4+3c^2d^2+d^4-2c^3d-2cd^3\left(1\right)\)
Mặt khác:
\(a^4+b^4+\left(a-b\right)^4\)
\(=a^4+b^4+a^4-4a^3b+6a^2b^2-4ab^3+b^4\)
\(=2\left(a^4-2a^3b-2ab^3+3a^2b^2\right)\left(2\right)\)
Tương tự:
\(c^4+d^4+\left(c-d\right)^4=2\left(c^4-2c^3d-2cd^3+3c^2d^2\right)\left(3\right)\)
Từ ( 1 );( 2 );( 3 ) suy ra đpcm
cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện b^2= a*c;c^2=b*d. Chứng minh
b^3+c^3+d^3=a/d
