\(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2\le1\Rightarrow-1\le x,y,z\le1\)

Ta có:\(x^3+y^3+z^3-x^2-y^2-z^2=0\)

\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)+y^2\left(y-1\right)+z^2\left(z-1\right)=0\)

Vì \(x-1\le0,y-1\le0,z-1\le0\)

\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)\text{​​}\le0,y^2\left(y-1\right)\le0,z^2\left(z-1\right)\le0\)

\(\Rightarrow x^2\left(x-1\right)\text{​​}+y^2\left(y-1\right)+z^2\left(z-1\right)\le0\)

Dấu "=" xảy ra khi\(\left\{{}\begin{matrix}x^2\left(x-1\right)=0\\y^2\left(y-1\right)=0\\z^2\left(z-1\right)=0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(x,y,z\right)\) là bộ (0,0,1) và các hoán vị

\(\Rightarrow x^{2021}+y^{2021}+z^{2021}=1\)

Ko sai bạn ey

{ x + y + z = 1 (1)

{ x² + y² + z² = 1 (2)

{ x³ + y³ + z³ = 1 (3)

(x + y + z)² = x² + y² + z² + 2(xy + yz + zx) 

⇒ 2(xy + yz + zx) = (x + y + z)² - (x² + y² + z²) = 1² - 1 = 0 ⇒ xy + yz + zx = 0

(x + y + z)³ = x³ + y³ + z³ + 3(x + y)(y + z)(z + x) 

⇒ 3(x + y)(y + z)(z + x) = (x + y + z)³ - (x³ + y³ + z³) = 1³ - 1 = 0

⇒ x + y = 0 hoặc y + z = 0 hoặc z + x = 0

@ Nếu  x + y = 0 ⇔ x = - y thay vào (1) ⇒ z = 1 , thay vào (2) ⇒ 2x² + 1 = 1 ⇒ x = 0; y = 0

⇒ S = 1

Tương tự cho trường hợp y + z = 0 và z + x = 0

Giải cách lớp 7 được ko bạn ????

Áp dụng bđt bunhiacopxki, ta có:

\(\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)\left(1+16\right)\ge\left(x+\frac{4}{x}\right)^2\) => \(x^2+\frac{1}{x^2}\ge\frac{\left(x+\frac{4}{x}\right)^2}{17}\)

=> \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}\ge\frac{x+\frac{4}{x}}{\sqrt{17}}=\frac{x}{\sqrt{17}}+\frac{4}{x\sqrt{17}}\)

CMTT: \(\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}\ge\frac{y}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}y}\)

\(\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\frac{z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}z}\)

=> A \(\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{4}{\sqrt{17}}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{x+y+z}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}\)(bđt: 1/a + 1/b + 1/c > = 9/(a+b+c)

=> A \(\ge\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}+\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}-\frac{15\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\)

A \(\ge2\sqrt{\frac{16\left(x+y+z\right)}{\sqrt{17}}\cdot\frac{36}{\sqrt{17}\left(x+y+z\right)}}-\frac{15\cdot\frac{3}{2}}{\sqrt{17}}\)(Bđt cosi + bđt: x + y + z < = 3/2)

A \(\ge\frac{48}{\sqrt{17}}-\frac{45}{2\sqrt{17}}=\frac{3\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y= z = 1/2

Vậy MinA = \(\frac{3\sqrt{17}}{2}\) <=> x = y = z = 1/2

\(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(\frac{x}{1+y^2}+\frac{y}{1+z^2}+\frac{z}{1+x^2}\right)\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}\)

Dấu ''='' chỉ xảy ra khi x=y=z=1

Để mình nghiên cứu giải cách khác

Mình giải áp dụng theo BĐT Nesbit (3 phần tử giống với đề bài )

Mình chứng minh theo Nesbit :

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)=\frac{a+b+c}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow2\left(a+b+c\right)\ge6\)

ta có (x+y+z)³ = (x+y)³ + [3(x+y)²z + 3(x+y).z² ]+ z³ = (x³ + 3x²y + 3xy² + y³ )+ 3 (x+y).z.(x+y+z) + z³

= x³ + y³ + z³ + 3xy (x+y) + 3z(x+y) (vì x+y + z = 1)

= 1 + 3(x+y).(xy + z) = 1+ 3(x+y)(xy+z) = 1 

=> x+y = 0 hoặc xy +z = 0

Nếu x+ y = 0 => x=-y và z = 1 => S = x²⁰¹³ + (-x)²⁰¹⁵ + 1²⁰¹⁷ + 2019 = x²⁰¹³ - x²⁰¹⁵ +2020 (có thể đề là y²⁰¹³) 

Nếu xy + z = 0 => z = -xy => x + y -xy - 1 = 0 => x(1-y) -(1-y) = 0 => (x-1)(1-y) = 0 => x = 1 hoặc y = 1

x = 1 => z = -y làm tương tự như trên

* đề nên sửa số mũ của x, y, z đều bằng nhau và bằng số lẻ

Bạn Trần thị Loan trả lời sai mất rồi

sai nghiem trong

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{x^2+1}=1-\frac{x^2}{x^2+1}\ge1-\frac{x^2}{2x}=1-\frac{x}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:

\(\frac{1}{1+y^2}\ge1-\frac{y}{2};\frac{1}{1+z^2}\ge1-\frac{z}{2}\)

Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:

\(VT\ge3-\frac{x+y+z}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\)

Khi \(x=y=z=1\)

Ta có:\(x-y=\frac{-1}{2};y+z=\frac{2}{5};-x=\frac{-2}{3}\)

\(-x=\frac{-2}{3}\Rightarrow x=\frac{2}{3}\)

*\(x-y=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(\frac{2}{3}-y=\frac{1}{2}\Rightarrow y=\frac{1}{6}\)

*\(y+z=\frac{2}{5}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{6}+z=\frac{2}{5}\)

\(\Rightarrow z=\frac{7}{30}\)

 \(\Rightarrow x=\frac{2}{3};y=\frac{1}{6};z=\frac{7}{30}\)

Học tốt nha!!!

thank you