Cách 1:

Áp dụng tính chất cuẩ BĐT, Ta có: \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\)

Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

=> \(x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(\frac{x+y+z}{3}\right)^2}{3}=\frac{16}{27}\)

=> GTNN của \(x^4+y^4+z^4=\frac{16}{27}\) đạt được khi x=y=z=2/3

bạn còn cách 2 ko?

Ap dung bat dang thuc a²+b²+c²>=\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)

=> x⁴+y⁴+z⁴>=\(\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}>=\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}=\frac{16}{27}\)

 dau = xay ra khi x=y=z=2/3

\(x^4+y^4+z^4\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}\ge\frac{\left[\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]^2}{3}=\frac{\left(x+y+z\right)^4}{27}=\frac{16}{27}..\)

Min = 16/27 khi x =y =z = 2/3

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx=2\)

mà \(xy+yz+zx\le x^2+y^2+z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{4}{3}\)

Tương tự:\(x^4+y^4+z^4\ge\left(x^2+y^2+z^2\right)\cdot\frac{1}{3}\ge\frac{4^2}{3^2}\cdot\frac{1}{3}=\frac{16}{27}\)

Dấu ''='' xảy ra khi x=y=z=2/3

Cho x,y,z là các số thực không âm .Tìm GTNN của x⁴ + y⁴ + z⁴ biết x+y+z=2.

sai đè nha:4\(\sqrt{yz}\)

cây gì lớn nhất hành tinh

\(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+xy+yz+xz=2\)

Mà \(xy+yz+xz\le x^2+y^2+z^2\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{4}{3}\)

Tương tự: \(x^4+y^4+z^4\ge\left(x^2+y^2+z^2\right).\frac{1}{3}\ge\frac{16}{27}\)

Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = 2/3

Chắc dùng Mincowski

- Áp dụng bất đẳng thức cô - si ta được :

\(\frac{x^4}{4}\ge\sqrt[4]{x^4}\) => \(x^4\ge4x\)

\(\frac{y^4}{4}\ge\sqrt[4]{y^4}\)=> \(y^4\ge4y\)

\(\frac{z^4}{4}\ge\sqrt[4]{z^4}\)=> \(z^4\ge4z\)

- Cộng 3 vế bất đẳng thức trên ta được :

\(x^4+y^4+z^4\ge4\left(x+y+z\right)\)

=> \(x^4+y^4+z^4\ge8\)

Vậy GTNN của biểu thức trên là 8 .

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1 .