ĐK: \(\hept{\begin{cases}1-\frac{2}{x}\ge0\\2x-\frac{8}{x}\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x-2}{x}\ge0\\\frac{2x^2-8}{x}\ge0\end{cases}}\)

<=> \(-2\le x< 0\) hoặc  \(x\ge2\)

TH1:  \(-2\le x< 0\)

Bất phương trình đúng

TH2: \(x\ge2\)(@@)

bất pt <=> \(2\sqrt{\frac{x-2}{x}}+\sqrt{\frac{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x}}\ge x\)

<=> \(\sqrt{\frac{x-2}{x}}\left(2+\sqrt{2\left(x+2\right)}\right)\ge x\)

<=> \(\sqrt{\frac{x-2}{x}}\left(\frac{2x}{\sqrt{2\left(x+2\right)}-2}\right)\ge x\)

<=> \(2\sqrt{\frac{x-2}{x}}+2\ge\sqrt{2\left(x+2\right)}\)

<=> \(4\left(1-\frac{2}{x}\right)+4+8\sqrt{1-\frac{2}{x}}\ge2x+4\)

<=> \(4\sqrt{1-\frac{2}{x}}\ge x-2+\frac{4}{x}\)

<=> \(16\left(1-\frac{2}{x}\right)\ge x^2+4+\frac{16}{x^2}-4x+8-\frac{16}{x}\)

<=> \(4\ge x^2+\frac{16}{x^2}-4x+\frac{16}{x}\)

<=> \(\left(x-\frac{4}{x}\right)^2-4\left(x-\frac{4}{x}\right)+4\le0\)

<=> \(\left(x-\frac{4}{x}+2\right)^2\le0\) vô nghiệm vì x > 2 => \(x-\frac{4}{x}+2>2\)

Vậy -2 \(\le\) x < 0

ĐKXĐ: \(\left[{}\begin{matrix}-2\le x< 0\\x\ge2\end{matrix}\right.\)

- Với \(-2\le x< 0\) BPT hiển nhiên đúng

- Với \(x\ge2\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-2}+\sqrt{2\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\ge x\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}\left(2+\sqrt{2\left(x+2\right)}\right)\ge x\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-2}\left(\frac{\left(2x+4\right)-4}{\sqrt{2x+4}-2}\right)\ge x\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{x-2}}{\sqrt{2x+4}-2}\ge\sqrt{x}\Leftrightarrow2\sqrt{x-2}\ge\sqrt{2x^2+4x}-2\sqrt{x}\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x-2}+2\sqrt{x}\ge\sqrt{2x^2+4x}\)

\(\Leftrightarrow4x-4+4\sqrt{x^2-2x}\ge x^2+2x\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-4\sqrt{x^2-2x}+4\le0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2-2x}-2\right)^2\le0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x}=2\Leftrightarrow x^2-2x-4=0\Rightarrow x=1+\sqrt{5}\)

Vậy nghiệm của BPT đã cho là: \(\left[{}\begin{matrix}-2\le x< 0\\x=1+\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)

Điều kiện \(x^2-2x\ge0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x\ge2\\x\le0\end{array}\right.\) khi đó :

Bất phương trình \(\Leftrightarrow3^{\sqrt{x^2-2x}}\ge\left(3\right)^{\sqrt{\left(x-1\right)^2}-x}\Leftrightarrow\sqrt{x^2-2x}\ge\left|x-1\right|-x\)

- Khi \(x\ge2\Rightarrow x-1>0\) nên bất phương trình \(\sqrt{x^2-2x}\ge-1\) đúng với mọi \(x\ge2\)

- Khi \(x\le0\Rightarrow x-1< 0\) nên bất phương trình \(\sqrt{x^2-2x}\ge1-2x\)

                                                                 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-2x\ge1-4x+4x^2\\x\le0\end{cases}\) vô nghiệm

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là : S = [2;\(+\infty\) )

Điều kiện xác định :\(x\ne-1\)

Ta có : \(\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)=1\Rightarrow\left(2-\sqrt{3}\right)=\left(2+\sqrt{3}\right)^{-1}\)

\(\Rightarrow\) Bất phương trình : \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{x-1}\ge\left(2+\sqrt{3}\right)^{\frac{1-x}{x+1}}\)

                               \(\Leftrightarrow x-1\ge\frac{1-x}{x+1}\)

                               \(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)\left(x+2\right)}{x+1}\ge0\)

                               \(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}-2\le x< -1\\x\ge1\end{array}\right.\)

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là \(S=\)[ -2; -1) \(\cup\) [1; \(+\infty\))

ĐKXĐ: \(-1\le x\le3\)

- Với \(\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x=3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\) BPT đúng

- Với \(-1< x< 3\Rightarrow\sqrt{-x^2+2x+3}>0\) BPT đã cho tương đương:

\(\frac{1}{3x+6}\ge\frac{1}{x-5}\Leftrightarrow\frac{1}{3x+6}-\frac{1}{x-5}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{-2x-11}{\left(3x+6\right)\left(x-5\right)}\ge0\)

Do \(-1\le x\le3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2x-11< 0\\3x+6>0\\x-5< 0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{-2x-11}{\left(3x+6\right)\left(x-5\right)}>0\) \(\forall x\in\left(-1;3\right)\)

Vậy nghiệm của BPT đã cho là \(-1\le x\le3\)