Cho tam giác ABC nhọn , đường cao AH . Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vã các tia HI và HF theo thứ tự vuông góc với cạnh AC và AB ( IAC , FAB ) . Trên tia HI lấy điểm E và trên tia HF lấy điểm D sao cho I là trung điểm của HE , F là trung điểm của HD .
a. C/m tam giác AHD,AHE,ADE là các tam giác cân
b. DE cắt AB và AC lần lượt tại M và N . CMR HA là phân giác góc MHN
cho tam giác ABC vuông ở A,đường cao AH.Kẻ HE vuông góc với AB tại E và HF vuông góc với AC tại F
a)CM:tứ giác AFHE là hình chữ nhật
b)Trên tia đối của tia FH lấy điểm M sao cho FH=FM.Trên tia đối của tia EH lấy điểm N sao cho EH=EN.Chứng minh tứ giác AEFM là hình bình hành
c)Kẻ trung tuyến AI của tam giác ABC.CHứng minh AI vuông góc MN
\(a,\widehat{AFH}=\widehat{AEH}=\widehat{EAF}=90^0\) nên \(AFHE\) là hcn
\(b,\) Vì \(AFHE\) là hcn nên \(AE=FH=FM\left(t/c.đối.xúng\right);AE//FH\)
\(\left\{{}\begin{matrix}AE=FM\\AE//FM\left(AE//FH\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow AEFM\) là hbh
\(c,\) Tam giác AHN có AE vừa là đường cao và trung tuyến nên cân tại A
Do đó AE cũng là p/g \(\widehat{HAN}\)
\(\Rightarrow\widehat{NAE}=\widehat{HAE}\)
Mà \(\widehat{HAE}=\widehat{ACB}\left(cùng.phụ.với.\widehat{ACH}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{NAE}=\widehat{ACB}\left(1\right)\)
Vì AI là trung tuyến ứng với cạnh huyền tam giác ABC vuông tại A nên \(AI=BI=IC=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow\Delta AIB\) cân tại I
\(\Rightarrow\widehat{IAB}=\widehat{ABC}\left(2\right)\\ \left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow\widehat{NAE}+\widehat{IAB}=\widehat{ACB}+\widehat{ABC}=90^0\left(\Delta ABC.vuông.tại.A\right)\\ \Rightarrow\widehat{IAN}=90^0\\ \Rightarrow AI\perp MN\)
Cho tam giác ABC vuông tại A, AH Vuông góc với BC ( H thuộc BC ) kẻ HE vuông góc AB tại E ,HF Vuông góc với ÁC tại F trên tia HE lấy M sao cho EM = EH trên tia HF lấy N sao cho FN = FH chứng minh A là trung điểm MN
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E và HF vuông góc với AC tại F.
a) CM tứ giác AFHE là hình chữ nhật
b) Trên tia đối của tia FH lấy điểm M sao cho FH=FM. Trên tia đối của tia EH lấy điểm N sao cho EH=EN. Chứng minh tứ giác AEFM, là hình bình hành.
c) CM A, M, N thẳng hàng.
d) Kẻ trung tuyến AI của tam giác ABC. CM AI vuông góc MN.
Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB,AC theo thứ tự ở E,F
1, Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC. CM: E là trực tâm của tam giác BDH
2, CM: HE = HF
Gọi giao điểm HM với DC là P; giao điểm HN với BC là E
a) Vì HP vuông góc với IK, mà IK//CD nên DC vuông góc với HP
=> HP và CE là các đường cao của ▲HCN cắt nhau ở M
=> M là trực tâm ▲HCN , nên NM là đường cao thứ 3 hay NM vuông góc với HC
Lại có HC vuông góc với AB (CH là đường cao)
=> NM//AB
Xét ▲BDC có M là trung điểm BC và NM//BD nên ND = NC
b) Do IK//CD nên theo Talet: IH/DN = IK/NC (= AI/AN)
=> IH/IK = ND/NC = 1 (Vì ND = NC). Vậy IH = HK
\(a,\left\{{}\begin{matrix}DH=HC\\BM=MC\end{matrix}\right.\Rightarrow HM\) là đường trung bình tam giác BDC
\(\Rightarrow HM//BD\Rightarrow BD\perp HE\left(HM\perp HE\right)\\ \Rightarrow HE.là.đường.cao.\Delta BDH\left(1\right)\)
Ta có H là trực tâm nên CH hay CD là đường cao tam giác ABC
\(\Rightarrow CD\perp BA\Rightarrow DH\perp BE\\ \Rightarrow BE.là.đường.cao.\Delta BDH\left(2\right)\)
Ta có \(BE\cap HE=E\left(3\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\left(3\right)\Rightarrow E.là.trực.tâm.\Delta BDH\)
Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB,AC theo thứ tự ở E,F
1, Trên tia đối của tia HC lấy điểm D sao cho HD = HC. CM: E là trực tâm của tam giác BDH
2, CM: HE = HF
Cho tam giác ABC nhọn , đường cao AH . Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A vã các tia HI và HF theo thứ tự vuông góc với cạnh AC và AB ( I\(\in\)AC , F\(\in\)AB ) . Trên tia HI lấy điểm E và trên tia HF lấy điểm D sao cho I là trung điểm của HE , F là trung điểm của HD .
a. C/m tam giác AHD,AHE,ADE là các tam giác cân
b. DE cắt AB và AC lần lượt tại M và N . CMR HA là phân giác \(\widehat{MHN}\)
a) Xét ∆AHD có :
AB là trung trực DH
=> ∆AHD cân tại A
=> AD = AH(1)
Xét ∆AHE có :
AI là trung trực HE
=> ∆AHE cân tại A
=> AH = AE (2)
Từ (1) và (2) => AD = AE
=> ∆ADE cân tại A
Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thằng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F.
a. Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD = HC. CMR: E là trực tâm của tam giác DBH.
b. Chứng minh rằng: HE = HF
Gọi giao điểm HM với DC là P; giao điểm HN với BC là E
a) Vì HP vuông góc với IK, mà IK//CD nên DC vuông góc với HP
=> HP và CE là các đường cao của ▲HCN cắt nhau ở M
=> M là trực tâm ▲HCN , nên NM là đường cao thứ 3 hay NM vuông góc với HC
Lại có HC vuông góc với AB (CH là đường cao)
=> NM//AB
Xét ▲BDC có M là trung điểm BC và NM//BD nên ND = NC
b) Do IK//CD nên theo Talet: IH/DN = IK/NC (= AI/AN)
=> IH/IK = ND/NC = 1 (Vì ND = NC). Vậy IH = HK
cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và Ac theo thứ tự ở E và F. Trên tia đối của tia HC, lấy điểm D sao cho HD=HC. CM:
a) E là trực tâm của tam giác DBH
b) HE=HF
