cho ba số a,b,c dương t/m a+b+c=1.Tìm GTLN của biểu thức
P=\(\frac{36\sqrt{abc}}{\sqrt{b+c}}\)
CÁC BẠ GIÚP MÌNH VỚI NHA1
MÌNH CẢM ƠN NHIỀU!!
cho a,b,c là các số thực dương. Tìm GTLN của biểu thức
P=\(\dfrac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\dfrac{\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}+\dfrac{\sqrt{ba}}{c+2\sqrt{ba}}\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\dfrac{2\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}+\dfrac{2\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\right)\)
\(P=\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{a}{a+2\sqrt{bc}}+1-\dfrac{b}{b+2\sqrt{ca}}+1-\dfrac{c}{c+2\sqrt{ab}}\right)\)
\(P=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a}{a+2\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+2\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+2\sqrt{ab}}\right)\)
\(P\le\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{a+2\sqrt{bc}+b+2\sqrt{ca}+c+2\sqrt{ab}}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^2}=1\)
\(P_{max}=1\) khi \(a=b=c\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c < 3
Tìm GTNN của biểu thức B = \(\sqrt{1+a^2}+\sqrt{1+b^2}+\sqrt{1+c^2}\) \(+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\)
Giúp mình với nha!!
mấy bạn có thể tra mạng giúp mình cũng đc..lời giải chi tiết nha
Cảm ơn nhiều.
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1 . Tìm GTLN của biểu thức :
\(T=\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}+1}+\frac{1}{\sqrt[3]{c}+\sqrt[3]{a}+1}\)
Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\text{ ≤ }\frac{1}{2}\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = \(\sqrt{a}+\sqrt{b}-\frac{1}{a+b}\)
Cảm ơn mn nhiều !!!
\(\frac{1}{2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\right)^2\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\le1\)
\(\Rightarrow1\ge\frac{4}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}\ge4\)
\(\frac{1}{2}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Rightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{8}\Rightarrow-\frac{1}{a+b}\ge-\frac{1}{8}\)
\(\Rightarrow M\ge4-\frac{1}{8}=\frac{31}{8}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=4\)
cho các số dương a, b, c thoả mãn: a+b+c=1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P=\frac{36\sqrt{abc}}{\sqrt{b+c}}\)
Cho a,b,c là ba số thực dương thoả mãn điều kiện a+b+c=1
Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\)
Giúp mình nhé!
\(P=\frac{ab}{\sqrt{c+ab}}+\frac{bc}{\sqrt{a+bc}}+\frac{ca}{\sqrt{b+ca}}\)
\(=\sqrt{\frac{a^2b^2}{c\left(a+b+c\right)+ab}}+\sqrt{\frac{b^2c^{^2}}{a\left(a+b+c\right)+bc}}+\sqrt{\frac{c^2a^2}{b\left(a+b+c\right)+ca}}\)
\(=\sqrt{\frac{a^2b^2}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}+\sqrt{\frac{b^2c^2}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}}+\sqrt{\frac{c^2a^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)
Áp dụng BĐT cô - si ta có :
\(\sum\sqrt{\frac{a^2b^2}{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}\le\sum\frac{\frac{ab}{c+a}+\frac{ab}{c+b}}{2}=\sum\frac{b\left(a+c\right)}{\frac{a+c}{2}}=\sum\frac{b}{2}=\frac{a+b+c}{2}=\frac{1}{2}\)
Vậy \(MAX_P=\frac{1}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho ba số dương\(a;b;c\)thỏa mãn \(a+\sqrt{ab}+\sqrt[3]{abc}=\frac{4}{3}\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(M=a+b+c\).
Hãy giúp mình với......
Cho các số dương a, b, c. Tìm GTLN của biểu thức:
\(P=\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{2a+b+c}+\frac{\sqrt{ac}}{a+2b+c}\)
Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn : \(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\)
Tìm GTNN của biểu thức : \(M=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}\)
GIÚP MÌNH ĐI MÀ, CẢM ƠN NHIỀU LẮM !!!
Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}\Leftrightarrow b=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}=\frac{2ac}{a+c}\)
Thế \(b=\frac{2ac}{a+c}\) vào M, ta được:
\(M=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}=\frac{a+\frac{2ac}{a+c}}{2a-\frac{2ac}{a+c}}+\frac{c+\frac{2ac}{a+c}}{2c-\frac{2ac}{a+c}}=\frac{1+\frac{2c}{a+c}}{2-\frac{2c}{a+c}}+\frac{1+\frac{2a}{a+c}}{2-\frac{2a}{a+c}}\)
\(M=\frac{\left(a+c\right)+2c}{2\left(a+c\right)-2c}+\frac{\left(a+c\right)+2a}{2\left(a+c\right)-2a}=\frac{a+3c}{2a}+\frac{3a+c}{2c}\)
\(M+2=\frac{a+3c}{2a}+1+\frac{3a+c}{2c}+1=\frac{3a+3c}{2a}+\frac{3a+3c}{2c}=\frac{3}{2}\left(a+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\right)\)
\(M+2=\frac{3}{2}\left(1+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+1\right)=\frac{3}{2}\left(2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\)
Xét \(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\ge2\Leftrightarrow...\)(bạn tự biến đổi tương đương để chứng minh nó nhé)
(ĐK xảy ra dấu "=": a=c)
Do đó \(M+2=\frac{3}{2}\left(1+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}+1\right)=\frac{3}{2}\left(2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{3}{2}\left(2+2\right)=6\Leftrightarrow M\ge4\)
Vậy GTNN của \(M=4\)khi \(a=c\Leftrightarrow\frac{2}{b}=\frac{2}{a}\Leftrightarrow b=a=c\)
Chúc bạn học tốt!
P/S: bài này khó thật đấy! Mình chuyên toán 9 mà giải hết nửa tiếng mới xong :D!