Cho tam giác ABC cân tại A. Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AB chúng cắt nhau ở D.
a) Chứng minh BD = CD
b) AD là đường trung trực của BC
Cho tam giác ABC cân ở A. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AB , qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau ở D. Chứng minh:
a) BD = CD
b) AD là đường trung trực của BC
TK
Nguồn: Cho tam giác ABC cân tại A. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc vs AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc vsAC, 2 đường thẳng cắt nhau ở D, chứng minh: a, BD=CD B,Đường thẳng AD là dường trung trực của BC - Hoc24
Bài 3: Cho tam giác ABC cân ở A. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AB , qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC, hai đường thẳng này cắt nhau ở D. Chứng minh:
a) BD = CD
b) AD là đường trung trực của BC
a: Xét ΔABD vuông tại B và ΔACD vuông tại C có
AD chung
AB=AC
Do đó: ΔABD=ΔACD
Suy ra: BD=CD
b: Ta có: BD=CD
nên D nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: AB=AC
nên A nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra AD là đường trung trực của BC
Cho tam giác ABC cân ở A. Qua B, vẽ đường thẳng vuông góc với AB , qua C vé đường thẳng vuông góc vs AC , 2 đường thẳng này cắt nhau ở D. Chứng minh rằng :
a, BD = CD
b, Đường thẳng AD là đường trung trực của BC
cho tam giác ABC cân tại A,góc A nhọn,các đường trung trực của AB,AC cắt nhau tại O.Vẽ hình.
a,chứng minh AO là tia phân giác của góc A
b,qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB,qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC chúng cắt nhau tai K
c,kẻ BD vuông góc với AC,CE vuông góc với AB,BD cắt CE tại H.chứng minh A,O,H,K thẳng hàng
a) Gọi G, F lần lượt là chân đường vuông góc từ O kẻ xuống AB và AC
Ta có: O nằm trên đường trung trực của AB(gt)
mà OG⊥AB(gt)
nên G là trung điểm của AB
Ta có: O nằm trên đường trung trực của AC(gt)
mà OF⊥AC(gt)
nên F là trung điểm của AC
Ta có: \(AG=\dfrac{AB}{2}\)(G là trung điểm của AB)
\(AF=\dfrac{AC}{2}\)(F là trung điểm của AC)
mà AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên AG=AF
Xét ΔAGO vuông tại G và ΔAFO vuông tại F có
AO chung
AG=AF(cmt)
Do đó: ΔAGO=ΔAFO(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: \(\widehat{GAO}=\widehat{FAO}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)
mà tia AO nằm giữa hai tia AB,AC
nên AO là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)(đpcm)
c) Xét ΔAOB và ΔAOC có
AB=AC(ΔABC cân tại A)
\(\widehat{BAO}=\widehat{CAO}\)(cmt)
AO chung
Do đó: ΔAOB=ΔAOC(c-g-c)
Suy ra: OB=OC(hai cạnh tương ứng)
Ta có: \(\widehat{ABC}+\widehat{KBC}=\widehat{ABK}\)(tia BC nằm giữa hai tia BA,BK)
nên \(\widehat{ABC}+\widehat{KBC}=90^0\)(1)
Ta có: \(\widehat{ACB}+\widehat{KCB}=\widehat{ACK}\)(tia CB nằm giữa hai tia CA,CK)
nên \(\widehat{ACB}+\widehat{KCB}=90^0\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{ABC}+\widehat{KBC}=\widehat{ACB}+\widehat{KCB}\)
mà \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
nên \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)
Xét ΔKBC có \(\widehat{KBC}=\widehat{KCB}\)(cmt)
nên ΔKBC cân tại K(Định lí đảo của tam giác cân)
Suy ra: KB=KC(hai cạnh bên)
Xét ΔBEC vuông tại E và ΔCDB vuông tại D có
BC chung
\(\widehat{EBC}=\widehat{DCB}\)(hai góc ở đáy của ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔBEC=ΔCDB(cạnh huyền-góc nhọn)
Suy ra: \(\widehat{BCE}=\widehat{CBD}\)(hai góc tương ứng)
hay \(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)
Xét ΔHBC có \(\widehat{HBC}=\widehat{HCB}\)(cmt)
nên ΔHBC cân tại H(Định lí đảo của tam giác cân)
Suy ra: HB=HC(hai cạnh bên)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(3)
Ta có: OB=OC(cmt)
nên O nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(4)
Ta có: HB=HC(cmt)
nên H nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(5)
Ta có: KB=KC(cmt)
nên K nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)
Từ (3), (4), (5) và (6) suy ra A,O,H,K thẳng hàng(đpcm)
Cho tam giác ABC cân tại A, góc A = 90 độ. Các đường trung trực của AB, AC cắt nhau tại O. a) Chứng minh AO là phân giác của góc A. b) Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại K. Chứng minh AK là phân giác của góc A. c) Vẽ BD vuông góc với AC, CE vuông góc với AB, BD cắt CE tại H. Chứng minh bốn điểm A, O, K, H thẳng hàng
Nhật Tân
Thứ 6, ngày 06/01/2017 14:54:35 |
p/s: kham khảo
Cho tam giác ABC cân tại A . Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với AB , qua C vẽ đường thẳng vuông góc với AC , hai đường thẳng cắt nhau ở D. Chứng minh :
a. BD = CD
b. Đường thẳng AD là đường trung trực của BC.
cho tam giác ABC cân tại A, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AB, qua C kẻ đường thẳng vuông góc với AC, chúng cắt nhau tại M. Chứng minh AM là đường trung trực của BC
Xét ΔABM vuông tại B và ΔACM vuông tại C có
AM chung
AB=AC(ΔABC cân tại A)
Do đó: ΔABM=ΔACM(cạnh huyền-cạnh góc vuông)
Suy ra: BM=CM(hai cạnh tương ứng)
Ta có: AB=AC(ΔABC cân tại A)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: BM=CM(cmt)
nên M nằm trên đường trung trực của BC(Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM là đường trung trực của BC
a) Gọi I là giao điểm của AM và BC
Xét \(\Delta ABM\) vuông tại B và \(\Delta ACM\) vuông tại C có :
AB =AC ( \(\Delta ABC\) cân tại A )
Cạnh AM chung
\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\) ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )
\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) ( 2 góc tương ứng )
\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) ( \(I\in AM\) )
Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có :
AB = AC ( cmt )
\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\left(cmt\right)\)
Cạnh AI chung
\(\Rightarrow\Delta BAI=\Delta CAI\left(c-g-c\right)\)
\(\Rightarrow\) IB = IC ( 2 cạnh tương ứng )
\(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) ( 2 góc tương ứng )
Có \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\left(cmt\right)\)
Mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\) (2 góc kề bù )
\(\Rightarrow2\widehat{AIB}=180^0\)
\(\Rightarrow\widehat{AIB}=90^0\)
Có \(\widehat{AIB}=90^0\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow AI\perp BC\)
Mà \(I\in AM\) ( vẽ thêm )
\(\Rightarrow AM\perp BC\) tại I
Ta có : \(AM\perp BC\) tại M ( cmt )
IB =IC ( cmt )
\(\Rightarrow\) AM là đường trung trực của BC ( điều phải chứng minh )
cho tam giác ABC cân tại A . Qua B vẽ đường thẳng vuông góc vs AB , qua C vẽ đường thẳng vuông góc AC , hai đường thẳng cắt nhau ở D . c/m
a ) BD = CD
b) đường thẳng AD là trung trực của BC
Ta có:
Tam giác ABC cân tại A => góc ABC = góc ACB
Mà góc ABD = góc ACD (=90độ) => góc ABD - góc ABC = góc ACD - góc ACB <=> góc DBC = góc DCB
=> Tam giác DBC cân ở D => DB=DC
b. gỌI I là giao điểm của AD và BC
Ta có: tam giác ABD = tam giác ACD (c-c-c)
=> góc BAD = góc CAD <=> góc BAI = góc CAI
=> tam giác BAI = tam giác CAI (c-g-c) => BI=IC
=> AI là trung trực của BC
CMTT có: DI là trung trực BC
=> Đường thẳng AD là trung trực của BC
Cho tam giác ABC có AB < AC, đường trung trực của BC cắt BC,AC lần
lượt tại M,N. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với MN, đường thẳng này cắt BN tại D.
a)Chứng minh: Tam giác AND cân
b) Chứng minh: ABCD là hình thang cân
a: Ta có: NM là đường trung trực của BC
nên NM⊥BC tại M
mà NM⊥AD
nên BC//AD
Ta có: N là điểm nằm trên đường trung trực của BC
nên NB=NC
Xét ΔAND và ΔCNB có
\(\widehat{AND}=\widehat{CNB}\)
\(\widehat{ADN}=\widehat{CBN}\)
Do đó: ΔAND\(\sim\)ΔCNB
Suy ra: \(\dfrac{AN}{CN}=\dfrac{ND}{NB}\)
\(\Leftrightarrow AN=ND\)
Xét ΔAND có AN=ND
nên ΔNAD cân tại N
b: Ta có: NA+NC=AC
ND+NB=DB
mà NA=ND
và NC=NB
nên AC=DB
Xét tứ giác ABCD có AD//BC
nên ABCD là hình thang
mà AC=DB
nên ABCD là hình thang cân