a) Ta có : \(\Delta ABC\) cân tại A

\(\Rightarrow\) \(\widehat{B}=\widehat{C}\) ( tính chất  \(\Delta\) cân )

Xét \(\Delta EBC\) và \(\Delta FCB\) có :

Cạnh BC chung\

\(\widehat{B}=\widehat{C}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ECB=\Delta FBC\) ( cạnh huyền - góc nhọn )

\(\Rightarrow\) BE = CF ( 2 cạnh tương ứng ) \(\rightarrow\) điều phải chứng minh

 \(\widehat{EBC}=\widehat{FCB}\) ( 2 góc tương ứng )

  BF = CE ( 2 cạnh tương ứng )

Có \(\widehat{EBC}=\widehat{FCB}\) ( cmt )

      \(\widehat{B}=\widehat{C}\left(cmt\right)\)

Mà \(\widehat{EBC}+\widehat{ABE}=\widehat{B}\) 

     \(\widehat{FCB}+\widehat{ACF}=\widehat{C}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\) ( tính chất bắc cầu ) \(\rightarrow\) điều phải chứng minh

b) Xét \(\Delta IFB\) và \(\Delta IEC\) có :

\(\widehat{IFB}=\widehat{IEC}\left(gt\right)\)

BF = CE ( cmt )

\(\widehat{FBI}=\widehat{ECI}\)  (\(F\in BA\), \(E\in CA\), \(I\in BE,CF\), \(\widehat{ABE}=\widehat{ACF}\) )

\(\Rightarrow\Delta IFB=\Delta IEC\) ( góc - cạnh - góc )

\(\Rightarrow IE=IF\) ( 2 cạnh tương ứng )

c) Xét \(\Delta IAF\) vuông tại F và \(\Delta IAE\) vuông tại E có :

Cạnh AI chung

\(\widehat{AIF}=\widehat{AIE}\) ( \(BE\perp AC,CF\perp AB\) )

IF = IE ( cmt )

\(\Rightarrow\Delta IAF\) vuông tại F = \(\Delta IAE\) vuông tại E ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

\(\Rightarrow\widehat{IAF}=\widehat{IAE}\) ( 2 góc tương ứng )

Ta có : \(\widehat{IAF}=\widehat{IAE}\) ( cmt ) 

Mà tia AI nằm giữa tia AF và AE 

      tia AI chia \(\widehat{A}\) thành 2 góc \(\widehat{IAF}\) và \(\widehat{IAE}\)

\(\Rightarrow\) AI là tia phân giác của \(\widehat{A}\) ( điều phải chứng minh )

a) Gọi I là giao điểm của AM và BC

Xét \(\Delta ABM\) vuông tại B và \(\Delta ACM\) vuông tại C có :

AB =AC ( \(\Delta ABC\) cân tại A )

Cạnh AM chung

\(\Rightarrow\Delta ABM=\Delta ACM\) ( cạnh huyền - cạnh góc vuông )

\(\Rightarrow\widehat{BAM}=\widehat{CAM}\) ( 2 góc tương ứng )

\(\Rightarrow\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\) (  \(I\in AM\) )

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta ACI\) có :

AB = AC ( cmt )

\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\left(cmt\right)\)

Cạnh AI chung 

\(\Rightarrow\Delta BAI=\Delta CAI\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\) IB = IC ( 2 cạnh tương ứng )

 \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\) ( 2 góc tương ứng )

Có \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\left(cmt\right)\)

Mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\) (2 góc kề bù )

\(\Rightarrow2\widehat{AIB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{AIB}=90^0\)

Có \(\widehat{AIB}=90^0\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AI\perp BC\)

Mà \(I\in AM\) ( vẽ thêm )

\(\Rightarrow AM\perp BC\) tại I

Ta có : \(AM\perp BC\) tại M ( cmt )

            IB =IC ( cmt )

\(\Rightarrow\) AM là đường trung trực của BC ( điều phải chứng minh )

Đúng nhé

Đúng

Người đó đi từ A tới B với thời gian là :

11h - 8h 20' = 2h 40' = \(\dfrac{8}{3}h\)S AB là :

\(\dfrac{8}{3}\times42=112\left(km\right)\)

Vậy S AB là 112 km

                                                                    Hết

Hình vẽ : tự vẽ

a) Ta có : tan giác ABC cân tại A ( gt )

\(\Rightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}AB=AC\\\widehat{B}=\widehat{C}\end{matrix}\right.\)( t/c \(\Delta\) cân )

  Ta có : AB = AC ( cmt )

Mà : M là trung điểm của AB ( gt ), N là trung điểm của AC ( gt )

 \(\Rightarrow\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\)

\(\Rightarrow AM=AN\)

Xét : \(\Delta\)AMO và \(\Delta\)ANO có

Cạnh AO chung

AM =AN (cmt )

 \(\widehat{AMO}=\widehat{ANO}=90^0\left(CM\perp AB,BN\perp AC\right)\)

\(\Rightarrow\Delta AMO=\Delta ANO\left(ch-cgv\right)\)

b) Có \(\Delta AMO=\Delta ANO\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\) ( 2 cạnh tương ứng ) 

Ta có :

\(\widehat{MAO}=\widehat{NAO}\left(cmt\right)\)

Mà : Tia AH nằm giữa tia AB và tia AC

\(\Rightarrow\) AH là tia phân giác của \(\widehat{A}\) ( đpcm )

c) Ta có : 

\(\Delta ABC\) cân tại A ( gt ), AH là tia phân giác của \(\widehat{A}\) ( cmt )

\(\Rightarrow\) AH cùng là đường cao và trung truyến

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AH\perp BC\\HB=HC\end{matrix}\right.\)( tính chất đường cao và trung tuyến )

d) Ta có :

 \(AH\perp BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{OHC}=90^0\)

\(\Rightarrow\)OC lớn hơn HC

Mà HC = HB ( cmt )

\(\Rightarrow\) OC lớn hơn HB ( đpcm )

                                                             -Hết-