từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O, kẻ các tiếp tuyến AB,AC đến đường tròn. Gọi H là giao điểm của OA và BC, EF là một dây cung đi qua H.CM tứ giác AEOF nọi tiếp
Bài này sử dụng bài toán phụ sau : tứ giác MNPQ nội tiếp có 2 đường chéo cắt nhau tại G thì
GM . GP = GN . GQ (hệ thức lượng trong đường tròn hay còn gọi là phương tích)
Vì từ giác BECF nội tiếp => HB . HC = HE . HF (1)
VÌ tứ giác ABOC có ^ABO = ^ACO = 90o
=> ABOC nội tiếp => HO . HA = HB . HC (2)
Từ (1) ; (2) => HO . HA = HE . HF
=> AEOF nội tiếp (đpcm)
Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC. a) Chứng minh OA ⊥ BC và tính tích OH.OA theo R b) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Chứng minh CD // OA. c) Gọi E là hình chiếu của C trên BD, K là giao điểm của AD và CE. Chứng minh K là trung điểm CE
a: Xét (O) có
AB là tiếp tuyến có B là tiếp điểm
AC là tiếp tuyến có C là tiếp điểm
Do đó: AB=AC
Ta có: OB=OC
nên O nằm trên đường trung trực của BC(1)
ta có: AB=AC
nên A nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
hay OA⊥BC
Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn . Qua A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Gọi H là giao điểm OA với BC , I là giao điểm OA với đường tròn (O). a, Chứng minh OH nhân OA =π^2 b, Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Giúp mình với nhé, mình cảm ơn ^^
a: Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)
ta có: OB=OC
=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)
b: Ta có: \(\widehat{ABI}+\widehat{OBI}=\widehat{OBA}=90^0\)
\(\widehat{HBI}+\widehat{OIB}=90^0\)(ΔHBI vuông tại H)
mà \(\widehat{OBI}=\widehat{OIB}\)
nên \(\widehat{ABI}=\widehat{HBI}=\widehat{CBI}\)
=>BI là phân giác của góc ABC
Xét (O) có
AB,AC là các tiếp tuyến
Do đó: AO là phân giác của góc BAC
Xét ΔBAC có
AH,BI là các đường phân giác
AH cắt BI tại I
Do đó: I là tâm đường tròn nội tiếp ΔBAC
a, Để chứng minh \(OH \times OA = \pi^2\), chúng ta có thể sử dụng định lí thứ ba của đường tròn và định lí Euclid về tiếp tuyến và tiếp tuyến ngoại tiếp.
Gọi \(R\) là bán kính của đường tròn, \(O\) là tâm của đường tròn, \(A\) là điểm nằm ngoài đường tròn, \(B\) và \(C\) là các điểm tiếp tuyến từ \(A\) đến đường tròn. \(H\) là giao điểm giữa \(OA\) và \(BC\).
Theo định lí thứ ba của đường tròn, ta có \(OH\) là đoạn trung bình của \(OA\) trong tam giác \(OAB\). Điều này có nghĩa là \(OH\) là trung bình hòa của các phần bằng nhau \(OA\) và \(OB\).
\(OA = OB = R\) (bán kính của đường tròn).
\(OH = \frac{OA + OB}{2} = \frac{2R}{2} = R\).
Vậy, \(OH = R\).
Để chứng minh \(OH \times OA = \pi^2\), ta có \(OH \times OA = R \times R = R^2\).
Nhưng theo định nghĩa, \(R\) là bán kính của đường tròn, nên \(R^2\) chính là \(\pi^2\) (bán kính mũ hai). Vì vậy, \(OH \times OA = \pi^2\).
b, Để chứng minh \(I\) là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác \(ABC\), chúng ta có thể sử dụng các định lí về tiếp tuyến và tiếp tuyến ngoại tiếp.
Gọi \(I\) là giao điểm của \(OA\) với đường tròn. Khi đó, theo định lí về tiếp tuyến ngoại tiếp, \(OA\) vuông góc với \(AB\) tại \(B\) và \(OA\) vuông góc với \(AC\) tại \(C\).
Vì OA là đường trung trực của BC (do H là giao điểm giữa OA và BC, nên OH cũng là đường trung trực của BC.)
Nếu I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC, thì OI cũng là đường trung trực của BC
Do đó, OHvà OI là cùng một đường trung trực của BC, nên OH = OI.
Vậy, I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Từ A nằm ngoài (O), kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC với (O) (B và C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC, EF là 1 dây đi qua H (E thuộc cung nhỏ BC, E khác B và C).CMR:
a) ABOC là tứ giác nội tiếp
b) BH.HC=EH.HF
c) AO là tia phân giác của góc EAF
Giúp mình câu c với
từ điểm a nằm ngoài đường tròn o vẽ hai tiếp tuyến ab , ac. gọi h là giao điểm của oa và bc. Gọi e , f là 1 dây đi qua h . c/m a) ABOC là tứ giác nội tiếp
b) BH.HC=EH.HF
c) AEOF là tứ giác nội tiếp
d) AO la ftia phân giác của góc EAF
làm hộ 2 câu cuối
Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ 2 tiếp tuyến AB, AC
( B,C là 2 tiếp điểm ). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OA vuông góc BC, tính OH.OA theo R
b) Kẻ đường kính BD của đường tròn tâm O. Chứng minh CD // OA
c) Gọi E là hình chiếu của C trên BD, K là giao điểm của AD và CE. Chứng minh K là trung điểm của CE
a: Xét (O) có
AB là tiếp tuyến
AC là tiếp tuyến
Do đó: AB=AC
hay A nằm trên đường trung trực của BC(1)
Ta có: OB=OC
nên O nằm trên đường trung trực của BC(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của BC
=>OA⊥BC
Xét ΔOBA vuông tại B có BH là đường cao
nên \(OH\cdot OA=OB^2=R^2\)
b:Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đó: ΔBCD vuông tại C
Suy ra: BC⊥CD
mà BC⊥AO
nên AO//CD
Cho ( O;R) và A ở ngoài đường tròn. qua A kẻ tiếp tuyến AB,AC và đường tròn (B,C là tiếp điểm)
a) Chứng minh: ABOC là tứ giác nội tiếp
b) Gọi H là giao điểm của BC và OA. Chứng minh: BC vuông góc OA
c) Kẻ đường kính BD của đường tròn; kẻ CK vuông góc BD ( K thuộc BD). Chứng minh: CK.CD=AC.KD
d) AD cắt CK ở I. Chứng minh: tam giác OKI đồng dạng tam giác DBA
Cho đường tròn (O;R) và điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với (O) (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và 'BC. a) Lấy điểm D đối xứng với B qua O. Gọi E là giao điểm của đoạn AD với đường tròn (O) ( E không trùng với D). Chứng minh DE.BA=BD.BE . b) Tính góc HEC
a) Xét (O):
D đối xứng với B qua O (gt).
\(\Rightarrow\) O là trung điểm của BD.
\(\Rightarrow\) BD là đường kính của (O).
Xét (O):
BD là đường kính của (O) (cmt).
\(E\in\left(O\right)\left(gt\right).\)
\(\Rightarrow\widehat{BED}=90^o.\)
Xét (O):
AB là tiếp tuyến (gt).
\(\Rightarrow BD\perp AB\) (Tính chất tiếp tuyến).
\(\Rightarrow\widehat{ABD}=90^o.\)
Xét \(\Delta ADB\) và \(\Delta BDE:\)
\(\widehat{ABD}=\widehat{BED}\left(=90^o\right).\\ \widehat{ADB}chung.\)
\(\Rightarrow\dfrac{BD}{DE}=\dfrac{AB}{BE}\) (2 cạnh tương ứng tỉ lệ).
\(\Rightarrow BD.BE=BA.DE.\)
Giúp mình với . ( giải chi tiết và cái hình luôn)
Bài 1,Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn đường kính BC cắt AB ở N và cắt AC ở M. Gọi H là
giao điểm của BM và CN.
a) Tính số đo các góc BMC và BNC.
b) Chứng minh AH vuông góc BC.
c) Chứng minh tiếp tuyến tại N đi qua trung điểm AH
Bài 2, Cho đường tròn tâm (O; R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn sao cho góc
MAB = 60độ . Kẻ dây MN vuông góc với AB tại H.
a) Chứng minh AM và AN là các tiếp tuyến của đường tròn (B; BM).
b) Chứng minh MN2 = 4AH.HB .
c) Chứng minh tam giác BMN là tam giác đều và điểm O là trọng tâm của nó.
d) Tia MO cắt đường tròn (O) tại E, tia MB cắt (B) tại F. Chứng minh ba điểm N, E, F thẳng hàng.
Bài 3, Cho đường tròn (O; R) và điểm A cách O một khoảng bằng 2R, kẻ tiếp tuyến AB tới đường
tròn (B là tiếp điểm).
a) Tính số đo các góc của tam giác OAB
b) Gọi C là điểm đối xứng với B qua OA. Chứng minh điểm C nằm trên đường tròn O và AC
là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) AO cắt đường tròn (O) tại G. Chứng minh G là trọng tâm tam giác ABC.
Bài 4, Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (với B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OA vuông góc BC và tính tích OH.OA theo R
b) Kẻ đường kính BD của đường tròn (O). Chứng minh CD // OA.
c) Gọi E là hình chiếu của C trên BD, K là giao điểm của AD và CE. Chứng minh K là trung điểm CE.
