Trong ΔABM, ta có ∠(BAM) = 90o

Suy ra: AB < BM (trong tam giác vuông cạnh huyền lớn nhất)

Mà BM = BE + EM = BF - MF

Suy ra: AB < BE + EM

AB < BF - FM

Suy ra:AB + AB < BE + ME + BF - MF (1)

Xét hai tam giác vuông AEM và CFM, ta có:

∠(AEM) = ∠(CFM) = 90o

AM = CM (gt)

∠(AME) = ∠(CMF) (đối đỉnh)

Suy ra: ΔAEM = ΔCFM (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra: ME = MF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AB + AB < BE + BF

Suy ra: 2AB < BE + BF

Vậy AB < (BE + BF) / 2 .

Bài 1 bạn tự làm nhé

Bài 2 :

 

Xét \(\Delta\)ADE vuông tại E :

                    AE < AD               (1)

Xét \(\Delta\)CDF vuông tại F       

                  CF < CD                (2)

Từ (1) và (2) => AE + CF < AD + CD = AC

Bài 3 :

 

Ta có : \(BM=BC\)=> \(\Delta\)BMC cân ở C nên \(\widehat{MCB}=\widehat{CMB}\)

Ta lại có : \(\widehat{BCM}+\widehat{MCA}=90^0,\widehat{CMH}+\widehat{MCH}=90^0\)

=> \(\widehat{MCH}=\widehat{MCN}\)

Xét \(\Delta\)MHC và \(\Delta\)MNC có :

MC chung

HC = NC(gt)

\(\widehat{MCH}=\widehat{MCN}\)(cmt)

=> \(\Delta\)MHC = \(\Delta\)MNC(c.g.c) 

Do đó \(\widehat{MNC}=\widehat{MHC}=90^0\)

hay MN \(\perp\)AC

Ta có : BM = BC,CH = CN và AM > AN

Do đó BM + MA + CH > BC + CN + NA hay AB + CH > BC + CA

ΔAED vuông tại E

=>AD là cạnh lớn nhất trong ΔAED
=>AD>AE

Ta có: ΔCFD vuông tại F

=>CD là cạnh lớn nhất trong ΔCFD

=>CD>CF

Ta có: AD>AE

CD>CF

Do đó: AD+CD>AE+CF

=>AC>AE+FC

+ AE là đường vuông góc hạ từ đỉnh A xuống đường thẳng BF

⇒ AE < AD. ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên). (1)

+ CF là đường vuông góc hạ từ đỉnh C xuống đường thẳng BF

⇒ CF < CD ( quan hệ đường vuông góc và đường xiên). (2)

Từ (1) và (2) vế cộng vế ta được: AE + CF < AD + CD = AC.