Ta có \(\frac{y}{x\sqrt{y^2+1}}=\frac{y\sqrt{xz}}{x\sqrt{y\left(x+y+z\right)+xz}}=\frac{yz}{\sqrt{x\left(y+z\right).z\left(x+y\right)}}\ge\frac{2yz}{2xz+xy+yz}\)

Đặt \(a=xy,b=yz,c=xz\)=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\)

Khi đó

\(P\ge\frac{2b}{2c+a+b}+\frac{2c}{2a+b+c}+\frac{2a}{2b+a+c}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)^2}{b^2+c^2+a^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\)

Xét \(P\ge\frac{3}{2}\)

=> \(4\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+9\left(ab+bc+ac\right)\)

<=> \(a^2+b^2+c^2\ge\left(ab+bc+ac\right)\)(luôn đúng )

Vậy \(MinP=\frac{3}{2}\)khi a=b=c=3=> \(x=y=z=\sqrt{3}\)

Câu c quen thuộc, chém trước:

Ta có BĐT phụ: \(\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x^4}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\) \((\ast)\)

Hay là: \(\frac{1}{x^3+\left(y+z\right)^3}\ge\frac{x}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}\)

Có: \(8(y^2+z^2) \Big[(x^2 +y^2 +z^2)^2 -x\left\{x^3 +(y+z)^3 \right\}\Big]\)

\(= \left( 4\,x{y}^{2}+4\,x{z}^{2}-{y}^{3}-3\,{y}^{2}z-3\,y{z}^{2}-{z}^{3 } \right) ^{2}+ \left( 7\,{y}^{4}+8\,{y}^{3}z+18\,{y}^{2}{z}^{2}+8\,{z }^{3}y+7\,{z}^{4} \right) \left( y-z \right) ^{2} \)

Từ đó BĐT \((\ast)\) là đúng. Do đó: \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}\)

\(\therefore VT=\sum\sqrt{\frac{x^3}{x^3+\left(y+z\right)^3}}\ge\sum\frac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1\)

Done.

Câu 1 chuyên phan bội châu

câu c hà nội

câu g khoa học tự nhiên

câu b am-gm dựa vào hằng đẳng thử rồi đặt ẩn phụ

câu f đặt \(a=\frac{2m}{n+p};b=\frac{2n}{p+m};c=\frac{2p}{m+n}\)

Gà như mình mấy câu còn lại ko bt nha ! để bạn tth_pro full cho nhé !

Nguyễn Ngọc Lộc , ?Amanda?, Phạm Lan Hương, Akai Haruma, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm,

@tth_new

Giúp em vs ạ! Thanks nhiều ạ

Theo BĐT Cô - si: 

\(\sqrt{\frac{y+z}{x}.1}\le\left(\frac{y+z}{x}+1\right):2=\frac{x+y+z}{2x}\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\).  Bạn làm tương tự và cộng từng vế sau đó CM không xảy ra dấu bằng

bạn vào trang này nhé có bài như thến này đấy 

//123doc.org//document/3173507-ren-luyen-chuyen-de-tim-maxmin-on-thi-thpt-quoc-gia.htm

tính diện tích hình vẽ dưới đây

b) Ta có \(A=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{y+z+z+x+x+y}\)(BĐT Schwarz) 

\(=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}\frac{x^2}{y+z}=\frac{y^2}{z+x}=\frac{z^2}{x+y}\\x+y+z=2\end{cases}}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

a) Có \(P=1.\sqrt{2x+yz}+1.\sqrt{2y+xz}+1.\sqrt{2z+xy}\)

\(\le\sqrt{\left(1^2+1^2+1^2\right)\left(2x+yz+2y+xz+2z+xy\right)}\)(BĐT Bunyakovsky) 

\(=\sqrt{3.\left[2\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\right]}\)

\(\le\sqrt{3\left[4+\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\right]}=\sqrt{3\left(4+\frac{4}{3}\right)}=4\)

Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 2/3 

cậu đăng mỗi lần 1 đến 2 câu thôi chứ nhiều thế này ai làm cho hết được

Ok lần đầu mình đăng nên chưa biết, cảm ơn cậu đã góp ý, mình sẽ rút kinh nghiệm!!

cậu siêu quá , viết thế này chắc tớ chết mất , bạn tải mỗi lần 1, 2 câu thôi .

3, \(P=a+b+\frac{1}{2a}+\frac{2}{b}\)

=\(\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\)

AD bđt cosi vs hai số dương có:

\(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\ge2\sqrt{\frac{1}{2a}.\frac{a}{2}}=2\sqrt{\frac{1}{4}}=1\)

\(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\ge2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{2}{b}}=2\)

Có \(\frac{a+b}{2}\ge\frac{3}{2}\) (vì a+b \(\ge3\))

=> \(P=\left(\frac{1}{2a}+\frac{a}{2}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{2}{b}\right)+\frac{a+b}{2}\ge1+2+\frac{3}{2}\)

<=> P \(\ge4.5\)

Dấu "=" xảy ra <=>\(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{2a}=\frac{a}{2}\\\frac{b}{2}=\frac{2}{b}\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=>\(\left\{{}\begin{matrix}a^2=1\\b^2=4\\a+b=3\end{matrix}\right.\) <=> \(\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=2\\a+b=3\end{matrix}\right.\)

=> a=2,b=3

Vậy minP=4.5 <=>a=1,b=2