VT = \(\left(\frac{a^2}{b^2}-2.\frac{a}{b}+1\right)+\left(\frac{b^2}{a^2}-2.\frac{b}{a}+1\right)+2-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\)

= \(\left(\frac{a}{b}-1\right)^2+\left(\frac{b}{a}-1\right)^2+\left(2-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\right)\)

Nhận xét: \(2-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=1+\frac{a}{b}.\frac{b}{a}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}=\left(\frac{a}{b}.\frac{b}{a}-\frac{a}{b}\right)+\left(1-\frac{b}{a}\right)\)

= \(\frac{a}{b}.\left(\frac{b}{a}-1\right)+\left(1-\frac{b}{a}\right)=\left(1-\frac{b}{a}\right).\left(1-\frac{a}{b}\right)=\left(\frac{a}{b}-1\right).\left(\frac{b}{a}-1\right)\)

=> VT = \(\left(\frac{a}{b}-1\right)^2+\left(\frac{b}{a}-1\right)^2+\left(\frac{a}{b}-1\right)\left(\frac{b}{a}-1\right)\)

= \(\left(\frac{a}{b}-1\right)^2+2.\left(\frac{a}{b}-1\right).\frac{\left(\frac{b}{a}-1\right)}{2}+\frac{\left(\frac{b}{a}-1\right)^2}{4}+\frac{3.\left(\frac{b}{a}-1\right)^2}{4}\)

= \(\left(\left(\frac{a}{b}-1\right)+\frac{\left(\frac{b}{a}-1\right)}{2}\right)^2+\frac{3.\left(\frac{b}{a}-1\right)^2}{4}\ge\frac{3.\left(\frac{b}{a}-1\right)^2}{4}\ge0\) với mọi a; b 

=> đpcm 

Dấu = khi \(\frac{a}{b}-1=-\frac{\frac{b}{a}-1}{2}\) và \(\frac{b}{a}-1=0\) <=> a = b  

Ta có: \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\)

\(=\left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}+2\right)-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+2\)

\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)^2-2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+2\)

\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\)

\(=\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1\right)\)

\(=\frac{a^2+b^2-2ab}{ab}.\frac{a^2+b^2-ab}{ab}\)

\(=\frac{\left(a-b\right)^2\left[\left(a-\frac{b}{2}\right)^2+\frac{3}{4}b^2\right]}{a^2b^2}\ge0\forall a,b\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-3\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+4\ge0\left(đpcm\right)\)

Thêm điều kiện là a,b cùng dấu nha! mình đánh thiếu

2/ Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).

Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.

Nếu \(abc\ne0\). Chia hai vế của BĐT cho \(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)

BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}\)

Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1\)

Cần chúng minh: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (1)

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z\). Thay vào (1):

\(VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)

\(=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz\)

\(\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.

Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(

Cách khác câu 2:Đặt \(\left(a,b,c\right)=\left(a^3,b^3,c^3\right)\)

Có: \(VT-VP=\frac{1}{6} \sum\, \left( 3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \left( a -b \right) ^{2} \left( a+b-c \right) ^{2}+\frac{2}{3} \sum \,{a}^{2}{b}^{2} \left( a -b \right) ^{2} \geq 0\)

Bất đẳng thức trên vẫn đúng trong trường hợp $a,b,c$ là các số thực.

Thật vậy ta chỉ cần chứng minh$:$

\(\frac{1}{6}\sum \left( 3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \left( a -b \right) ^{2} \left( a+b-c \right) ^{2} \geq 0\)

Chú ý \(\sum\left(a-b\right)\left(a+b-c\right)=0\)

Ta đưa về chứng minh: \(\sum (3\,{a}^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc) \geq 0 \,\,\,\,\,\,(1)\)

Và \(\sum \left( 3\,{a}^{2}+2\,ab+4\,ac+2\,bc+3\,{c}^{2} \right) \left( 3\,{a} ^{2}+4\,ab+2\,ac+3\,{b}^{2}+2\,bc \right) \geq 0 \,\,\,\,(2)\)

$(1)$ dễ chứng minh bằng tam thức bậc $2$.

Chứng minh $(2):$

$$\text{VT} = {\frac {196\, \left( a+b+c \right) ^{4}}{27}} + \sum{\frac { \left( a-b \right) ^{2} \left( 47\,a+26\,c+47\,b \right) ^{2}
}{2538}}+\sum {\frac {328\,{c}^{2} \left( a-b \right) ^{2}}{141}} \geq 0$$

Xong.

Vũ Minh Tuấn, @Nk>↑@, Nguyễn Văn Đạt, Băng Băng 2k6, tth, Nguyễn Thị Diễm Quỳnh, Lê Thị Thục Hiền,

Aki Tsuki, @Trần Thanh Phương, @Nguyễn Việt Lâm, @Akai Haruma

giúp e vs ạ! cần gấp! thanks nhiều!

Bài 1:

a) Ta thấy:

\(x^4-2x^3+2x^2-2x+1=(x^4-2x^3+x^2)+(x^2-2x+1)\)

\(=(x^2-x)^2+(x-1)^2\geq 0, \forall x\in\mathbb{R}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^2-x=0\\ x-1=0\end{matrix}\right.\) hay $x=1$

b) Đề sai với $a=0,5; b=2,3; c=0,2$. Nếu đề bài của bạn giống bài dưới đây, tham khảo nó tại link sau:

Câu hỏi của bach nhac lam - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

\(\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}=-\frac{b\left(a-b\right)+c\left(c-a\right)}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=-\frac{b\left(a-b\right)+c\left(c-a\right)}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-c\right)}\)

sau đó chứng minh tương tự và cộng theo từng vế thôi 

Ta có

\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)

\(\Rightarrow\left\{\begin{matrix}\frac{a}{b-c}=-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}\\\frac{b}{c-a}=-\frac{a}{b-c}-\frac{c}{a-b}\\\frac{c}{a-b}=-\frac{a}{b-c}-\frac{b}{c-a}\end{matrix}\right.\) (1)

Mà

\(\left\{\begin{matrix}\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{a}{b-c}.\frac{1}{b-c}\\\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{b}{c-a}.\frac{1}{c-a}\\\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{c}{a-b}.\frac{1}{a-b}\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=0\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}.\frac{1}{b-c}+\frac{b}{c-a}.\frac{1}{c-a}+\frac{c}{a-b}.\frac{1}{a-b}=0\)

Thay điều (1) vào biểu thức ta có :

\(\frac{a}{b-c}.\frac{1}{b-c}+\frac{b}{c-a}.\frac{1}{c-a}+\frac{c}{a-b}.\frac{1}{a-b}=0\)

\(\Rightarrow\left(-\frac{b}{c-a}-\frac{c}{a-b}\right).\frac{1}{b-c}+\left(-\frac{a}{b-c}-\frac{c}{a-b}\right).\frac{1}{c-a}+\left(-\frac{a}{b-c}-\frac{b}{c-a}\right).\frac{1}{a-b}=0\)

\(\Rightarrow-\frac{b}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}-\frac{c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}-\frac{a}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)}-\frac{c}{\left(a-b\right)\left(c-a\right)}-\frac{a}{\left(b-c\right)\left(a-b\right)}-\frac{b}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=0\)

\(\Rightarrow-\frac{b}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}-\frac{a}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}-\frac{c}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}-\frac{a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}-\frac{c}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}-\frac{b}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=0\)

\(\Rightarrow-\frac{b-a}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}-\frac{c-a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}-\frac{c-b}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}=0\)

\(\Rightarrow-\left[\frac{b+a}{\left(c-a\right)\left(b-c\right)}+\frac{c+a}{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}+\frac{c+b}{\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\right]=0\)

\(\Rightarrow-\left[\frac{\left(b+a\right)\left(a-b\right)^2\left(b-c\right)\left(c-a\right)+\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2\left(b-c\right)\left(a-b\right)+\left(c+b\right)\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)\left(a-b\right)}{\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\left(a-b\right)^2}\right]=0\)

\(\Rightarrow-\left\{\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left[\left(b+a\right)\left(a-b\right)+\left(c+a\right)\left(c-a\right)+\left(b+c\right)\left(b-c\right)\right]}{\left(b-c\right)^2\left(c-a\right)^2\left(a-b\right)^2}\right\}=0\)

\(\Rightarrow-\left[\frac{\left(b+a\right)\left(b-a\right)+\left(c+a\right)\left(c-a\right)+\left(b+c\right)\left(b-c\right)}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\right]=0\)

\(\Rightarrow-\left[\frac{\left(a^2-b^2\right)+\left(c^2-a^2\right)+\left(b^2-c^2\right)}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\right]=0\)

\(\Rightarrow-\left[\frac{\left(-b^2+b^2\right)+\left(-a^2+a^2\right)+\left(-c^2+c^2\right)}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\right]=0\)

\(\Rightarrow-\left[\frac{0}{\left(b-c\right)\left(c-a\right)\left(a-b\right)}\right]=0\)

\(\Rightarrow0=0\) ( đpcm )