a) \(AH\perp BC\) \(\Rightarrow AH< AB;AH< AC\)

\(\Rightarrow2.AH< AB+AC\Leftrightarrow AH< \dfrac{AB+AC}{2}\)

b) Theo câu a ta có: \(AH< \dfrac{AB+AC}{2}\)    \(\left(1\right)\)

Tương tự ta có:       \(BK< \dfrac{AB+BC}{2}\)     \(\left(2\right)\)

                                 \(CI< \dfrac{CA+CB}{2}\)      \(\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right)\),\(\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) \(\Rightarrow AH+BK+CI< AB+AC+BC\)

Xét tam giác \(ABK\) và tam giác \(ACI\) ta có: 

\(\widehat{A}\) chung

\(\widehat{AKB}=\widehat{AIC}\left(=90^o\right)\)

Suy ra \(\Delta ABK~\Delta ACI\left(g.g\right)\)

suy ra \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AK}{AI}\Leftrightarrow\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{AI}{AC}\).

e, Trên tia đối của tia DH  lấy điểm F sao cho DF = DH = 1/2 FH

Xét tam giác ADF và BDH có : 

AD = BD ( cmt ) 

ADF = BDH ( 2 góc đối đỉnh )

DF = DH ( cách vẽ )
=> Tam giác ADF = tam giác BDH ( c.g.c )
=> FH = AB ( 2 cạnh tương ứng ) 
Mà DF = DH = 1/2 FH ( cách vẽ )
=> HD = 1/2 AB ( đpcm )

bk ⊥ ci ? điểm i đề bài có đâu

a) Dễ dàng c/m được tam giác HIC đồng dạng với tam giác AHC (g.g)

=> \(\frac{HC}{AC}=\frac{IC}{HC}\Rightarrow IC=\frac{HC^2}{AC}=\frac{\left(\frac{BC}{2}\right)^2}{AC}\) . Bạn thay số vào tính.

b) Dễ dàng c/m được HI là đường trung bình tam giác BKC => I nằm giữa K và C

Lại có I nằm giữa AC => K nằm giữa A và C

a) \(IC=\frac{HC^2}{AC}=\frac{6^2}{9}=4\) (cm)

b) \(\Delta ABC\) cân tại điểm A.

\(\Rightarrow\widehat{B}=\widehat{C}\) là góc nhọn

=> A nằm trên mặt phẳng chứa A bờ BC.

\(\Rightarrow\Delta AHC\approx\Delta BKC\)

\(\Rightarrow\frac{AC}{BC}=\frac{HC}{KC}\)

\(\Rightarrow KC=\frac{12.6}{9}=8< 9\)

Vậy K nằm giữa A và C