Câu 4. Cho a,b,c là ba số thực dương . Chứng minh rằng \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge a+b+c\).
cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) . chứng minh rằng: \(\frac{a^2}{a+bc}+\frac{b^2}{b+ca}+\frac{c^2}{c+ab}\ge\frac{a+b+c}{4}\)
Nhân 2 vế của \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=1\) có: \(ab+bc+ca=abc\)
Ta có:
\(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{a^2+abc}=\frac{a^3}{a^2+ab+bc+ca}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{a^2}{a+bc}=\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\frac{a+b}{8}+\frac{a+c}{8}\)
\(\ge3\sqrt[3]{\frac{a^3}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}\cdot\frac{a+b}{8}\cdot\frac{a+c}{8}}=\frac{3a}{4}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta có:
\(\frac{b^2}{b+ca}+\frac{a+b}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3b}{4};\frac{c^2}{c+ab}+\frac{a+c}{8}+\frac{b+c}{8}\ge\frac{3c}{4}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VT+\frac{4\left(a+b+c\right)}{8}\ge\frac{3\left(a+b+c\right)}{4}\)
\(\Leftrightarrow VT+\frac{4\left(a+b+c\right)}{8}\ge\frac{6\left(a+b+c\right)}{8}\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{4}=VP\). Ta có ĐPCM
Câu 1: Chứng minh \(\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}\) với ∀n∈\(N^*\)
Câu 2: Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng: \(\frac{a^4+b^4+c^4}{a+b+c}\geq abc\).
Câu 3: Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn \(ab+bc+ca=3\). Chứng minh rằng: \(\sqrt{a^6+b^6+1}+\sqrt{b^6+c^6+1}+\sqrt{c^6+a^6+1}\geq 3\sqrt{3}\)
Câu 4: Cho các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a+b+c=3\).Chứng minh rằng: \(a^3+b^3+c^3\geq 3\)
Câu 5: Với \(a,b,c>0\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=1\). Chứng minh rằng: \(\sqrt\frac{b}{a}+\sqrt\frac{c}{b}+\sqrt\frac{a}{c}\leq 1\)
1. Đề thiếu
2. BĐT cần chứng minh tương đương:
\(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
Ta có:
\(a^4+b^4+c^4\ge\dfrac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\ge\dfrac{1}{3}\left(ab+bc+ca\right)^2\ge\dfrac{1}{3}.3abc\left(a+b+c\right)\) (đpcm)
3.
Ta có:
\(\left(a^6+b^6+1\right)\left(1+1+1\right)\ge\left(a^3+b^3+1\right)^2\)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+1+b^3+c^3+1+c^3+a^3+1\right)\)
\(VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)
Lại có:
\(a^3+b^3+1\ge3ab\) ; \(b^3+c^3+1\ge3bc\) ; \(c^3+a^3+1\ge3ca\)
\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge3\left(ab+bc+ca\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
\(\Rightarrow VT\ge\sqrt{3}+\dfrac{6}{\sqrt{3}}=3\sqrt{3}\)
4.
Ta có:
\(a^3+1+1\ge3a\) ; \(b^3+1+1\ge3b\) ; \(c^3+1+1\ge3c\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3+6\ge3\left(a+b+c\right)=9\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)
5.
Ta có:
\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}\ge2\sqrt{\dfrac{a}{c}}\) ; \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{c}{b}}\) ; \(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}\ge2\sqrt{\dfrac{b}{a}}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{b}{a}}+\sqrt{\dfrac{c}{b}}+\sqrt{\dfrac{a}{c}}\le\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{a}=1\)
Câu 1:
\(VT=1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n-1}-\dfrac{1}{n}\)
\(VT=1-\dfrac{1}{n}< 1\) (đpcm)
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca=3.
Chứng minh rằng: \(\frac{a^3}{b^2+3 }+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3}\ge\frac{3}{4}\)
Vào thống kê hỏi đáp xem nhé. Bài này chỉ cần biểu diễn dưới dạng tổng bình phương là xong.
ta có \(\frac{a^3}{b^2+3}+\frac{b^3}{c^2+3}+\frac{c^3}{a^2+3}\ge\frac{3}{4}\) (***)
do ab+bc+ca=3 nên
VT (***)=\(\frac{a^3}{b^2+ab+bc+ca}+\frac{b^3}{c^2+ab+bc+ca}+\frac{c^3}{a^2+ab+bc+ca}\)
\(=\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}+\frac{b^3}{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}+\frac{c^3}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\)
áp dụng bđt AM-GM ta có \(\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{b+c}{8}+\frac{a+b}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{5a-2b-c}{8}\left(1\right)\)
chứng minh tương tự ta cũng được
\(\hept{\begin{cases}\frac{b^3}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\ge\frac{5b-2c-a}{8}\left(2\right)\\\frac{c^3}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{5c-2a-b}{8}\left(3\right)\end{cases}}\)
cộng theo vế với vế của (1),(2) và (3) ta được VT (***) \(\ge\frac{a+b+c}{4}\)
mặt khác ta dễ dàng chứng minh được \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\)
đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1 (đpcm)
ok cảm ơn bạn nha :)
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1
Chứng minh rằng : \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\)
Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)(ab+bc+ac)\geq (a+b+c)^2\)
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\right)\geq \left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)^2\)
Nhân theo vế 2 BĐT trên:
\(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2(ab+bc+ac).\frac{a+b+c}{abc}\geq [(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})]^2\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq [(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})]^2\)
\(\Leftrightarrow \left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\geq (a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$
Cho a,b,c là các số thực dương chứng minh rằng:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge\frac{3}{2}\)
Không mất tính tổng quát giả sử \(a\ge b\ge c>0\)
\(BĐT< =>\frac{a\left(b+c\right)\left(c+a\right)+b\left(a+b\right)\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{3}{2}\)
\(< =>\frac{ac^2+ba^2+cb^2+\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-abc}\ge\frac{3}{2}\)
\(< =>2\left[ac^2+ba^2+cb^2+\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)\right]\ge3\left[\left(a+b+c\right)\left(...\right)-abc\right]\)
\(< =>2\left(ac^2+a^2b+cb^2\right)\ge\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)-3abc\)
\(< =>ac^2+a^2b+cb^2\ge ca^2+ab^2+c^2b\)
\(< =>\left(c-b\right)\left(c-a\right)\left(a-b\right)\ge0\)(đúng)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Ta có bất đẳng thức sau \(\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\ge9\)( cm = bunhia phân thức )
\(< =>1+\frac{a+b}{b+c}+\frac{a+b}{c+a}+1+\frac{b+c}{a+b}+\frac{b+c}{c+a}+1+\frac{c+a}{a+b}+\frac{c+a}{b+c}\ge9\)
\(< =>\frac{a}{a+b}+\frac{2a}{b+c}+\frac{a}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{c}{c+a}\ge6\)(*)
Đặt \(A=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\);\(B=\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}\);\(C=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
Khi đó bất đẳng thức (*) tương đương với \(A+B+2C\ge6\)
Do\(A+B=3\)\(=>2C\ge3=>C\ge\frac{3}{2}\)
Suy ra \(A+B+C\ge6-\frac{3}{2}=\frac{12-3}{2}=\frac{9}{2}\)(1)
Xét tổng :\(B+C=\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+a}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}\ge3\)(AM-GM) (2)
Từ (1) và (2) ta được \(A\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\)
Done !
Cho ba số thực dương a,b,c. Chứng minh \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\)
Cho các số thực dương a , b , c . Chứng minh rằng :
\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\ge\frac{c^2}{b+c}+\frac{a^2}{c+a}+\frac{b^2}{a+b}\)
\(a^2\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+c}\right)+b^2\left(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}\right)+c^2\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)\ge0.\)
\(a^2\left(\frac{a-}{b+c}\frac{b}{a+c}\right)+b^2\left(\frac{b}{a+c}\frac{-c}{a+b}\right)+c^2\left(\frac{c-}{a+b}\frac{a}{b+c}\right)\ge0.\)
\(a^2\left(a^2-b^2\right)+b^2\left(b^2-c^2\right)+c^2\left(c^2-a^2\right)\ge0.\)
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2.\) cái này dễ rồi .
Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\) (không chép mạng)
P/s: Đây là BĐT Nesbit
\(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
=> \(A+3=\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1+\frac{c}{a+b}+1\)
\(=\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(a+b\right)+\left(b+c\right)+\left(c+a\right)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\right)\)
\(\ge\frac{1}{2}.3\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}.3\sqrt[3]{\frac{1}{a+b}.\frac{1}{b+c}.\frac{1}{c+a}}=\frac{9}{2}\) (AM - GM)
=> \(A\ge\frac{9}{2}-3=\frac{3}{2}\) (đpcm)
Đặt \(A=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
\(A=\frac{a^2}{ba+ca}+\frac{b^2}{cb+ba}+\frac{c^2}{ac+bc}\)
Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:
\(A=\frac{a^2}{ba+ca}+\frac{b^2}{cb+ba}+\frac{c^2}{ac+bc}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\left(ab+bc+ca\right)}\)
Ta c/m BĐT phụ \(ab+bc+ca\le\frac{1}{3}.\left(a+b+c\right)^2\)( tự c/m)
Áp dụng:
\(A\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2.\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)^2}=\frac{1}{\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}\)
đpcm
Tham khảo nhé~
P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
P + 3 = 1+ a/(b+c) + 1+ b/(c+a) + 1+ c/(a+b)
P + 3 = (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(b+c) + (a+b+c)/(c+a)
P + 3 = (a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] (*)
ad bđt cô si cho 3 số:
2(a+b+c) = (a+b) + (b+c) + (c+a) ≥ 3.³√(a+b)(b+c)(c+a)
1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b) ≥ 3.³√1/(a+b)(b+c)(c+a)
nhân lại vế theo vế 2 bđt: 2(a+b+c)[1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)] ≥ 9
=> P + 3 ≥ 9/2 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; dấu "=" khi a = b = c
- - -
cách khác: P = a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)
M = b/(b+c) + c/(c+a) + a/(a+b)
N = c/(b+c) + a/(c+a) + b/(a+b)
Thấy: M + N = 3
P + M = (a+b)/(b+c) + (b+c)/(c+a) + (c+a)/(a+b) ≥ 3 (cô si cho 3 số)
P + N = (a+c)/(b+c) + (b+a)/(c+a) + (c+b)/(a+b) ≥ 3 (cô si)
=> 2P + M + N ≥ 6 => 2P + 3 ≥ 6 => P ≥ 3/2 (đpcm) ; đẳng thức khi a = b = c