Bài này ta dùng bđt Cauchy-Schwaz

VT=\(\frac{\left(bc\right)^2}{a^2bc\left(b+c\right)}\)\(+\frac{\left(\text{c}\text{a}\right)^2}{\text{b}^2c\text{a}\left(\text{c}+\text{a}\right)}\)\(+\frac{\left(\text{a}\text{b}\right)^2}{\text{c}^2\text{a}\text{b}\left(\text{a}+b\right)}\)

\(\ge\)\(\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{2abc\left(ab+bc+ca\right)}\)\(=\frac{ab+bc+ca}{2abc}\)\(=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\)\(=\)VP

=> đpcm

Dấu \("="\)xảy ra <=> a=b=c

định lý thường nói : nếu trong 1 tam giác có tông độ dài hai cạnh luôn luôn lớn hơn cạnh còn lại 

bạn dựa vào định lý đó để chứng minh

thanks

Vì O là điểm cách đều 3 đỉnh của tam giác => O là giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC có AB=AC nên Tam giác ABC cân tại A => Đoạn AO thuộc đường trung trực, đường trung tuyến, đường phân giác của tam giác ABC => góc BAO = góc CAO (1) 

Vì O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên ta có : OA = OB => tam giác AOB cân tại O 

=>góc ABO = góc BAO (2)

từ (1) và (2) suy ra : góc ABO = góc CAO

b, Xét tam giác OMB và tam giác ONA có :

       OA = OB ( cmt )

        góc ABO = góc CAO hay góc MBO = góc NAO 

      BM = AN ( Gt )

=> tam giác OMB = tam giác ONA (c.g.c)

=> OM = ON hay O cách đều M và N 

a.Ta có điểm O cách đều 3 đỉnh tam giac => O là giao của 3 đường trung trực

Vì tgiac ABC có AB=AC=> tgiac ABC cân tại A mà AK vuông góc với BC => AK là tia phân giác của góc BAC

=> góc BAK= góc CAK(1)

Xét tgiac AHO và tgiac BHO có:

OH chung 

góc AHO= góc BHO=90

HA=HB( vì OH là đường trung trực của AB)

=> tgiac AHO=tgiac BHO(c.g.c)

=> góc HBO= góc HAO(2 góc tương ứng)(2)

Từ (1) và(2) => góc ABO= góc CAO

b.xét tgiac MOB và tgiac NAO có:

BM=AN(gt)

góc MBO= góc NAO(cmt)

OB=OA(tính chất đường trung trực)

=> tgiac MOB=tgiac NAO(c.g.c)

=> Om=ON(2 cạnh tương ứng)

chị ơi giúp em bài nì với ạ

Ở miền trong góc tù xOy, vẽ các tia Oz, Ot sao cho Oz vuông góc với Ox, Ot vuông góc với Oy

a/ Góc toz là góc gì?

b/ So sánh góc xOt và yoz

c/ Tính tổng 2 góc xoy và tOz

vẽ giúp em cái hình được ko ạ

a)a²+b²+c²+3=2(a+b+c)

=>a²+b²+c²+1+1+1-2a-2b-2c=0

=>(a²-2a+1)+(b²-2b+1)+(c²-2c+1)=0

=>(a-1)²+(b-1)²+(c-1)²=0

=>a-1=b-1=c-1=0 <=>a=b=c=1 

-->Đpcm

b)(a+b+c)²=3(ab+ac+bc)

=>a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc -3ab-3ac-3bc=0 

=>a²+b²+c²-ab-ac-bc=0

=>2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc=0 

=>(a²- 2ab+b²)+(b²-2bc+c²) + (c²-2ca+a²) = 0

=>(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0 

Hay (a-b)²=0 hoặc (b-c)²=0 hoặc (a-c)²=0

=>a-b hoặc b=c hoặc a=c

=>a=b=c 

-->Đpcm

c)a²+b²+c²=ab+bc+ca

=>2(a²+b²+c²)=2(ab+bc+ca)

=>2a²+2b²+c²=2ab+2bc+2ca

=>2a²+2b²+c²-2ab-2bc-2ca=0

=>a²+a²+b²+b²+c²+c²-2ab-2bc-2ca=0

=>(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(a²-2ca+c²)=0

=>(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²=0

Hay (a-b)²=0 hoặc (b-c)²=0 hoặc (a-c)²=0

=>a-b hoặc b=c hoặc a=c

=>a=b=c 

-->Đpcm

a) Ta có : \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2a+1\right)+\left(b^2-2b+1\right)+\left(c^2-2c+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)

Vì \(\left(a-1\right)^2\ge0,\left(b-1\right)^2\ge0,\left(c-1\right)^2\ge0\) nên pt trên tương đương với \(\begin{cases}\left(a-1\right)^2=0\\\left(b-1\right)^2=0\\\left(c-1\right)^2=0\end{cases}\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

b) \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ac\right)=3\left(ab+bc+ac\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=ab+bc+ac\) (1)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2ab+2bc+2ac\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)

Mà \(\left(a-b\right)^2\ge0,\left(b-c\right)^2\ge0,\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}\) \(\Rightarrow a=b=c\)

c) Giải tương tự câu b) , bắt đầu từ (1)

a) Ta có : \(ED=\frac{BC}{2}=\frac{4}{2}=2\left(cm\right)\)

MN là đường trung bình của hình thang BEDC nên ta có :

\(MN=\frac{ED+BC}{2}=\frac{2+4}{2}=3\left(cm\right)\)

b) \(\Delta BED\)có BM = ME(vì M là trung điểm của BE) , mà MP // ED nên BP = PD . Do đó \(MP=\frac{ED}{2}=\frac{2}{2}=1\left(cm\right)\)

\(\Delta\)CED có NC = ND(vì N là trung điểm của CD) , mà NQ // ED nên CQ = CE . Do đó \(NQ=\frac{ED}{2}=\frac{2}{2}=1\left(cm\right)\)

Lại có : PQ = MN - MP - NQ = 3 - 1 - 1 = 1(cm)

Vậy MP = NQ = PQ = 1cm

TÍNH ĐỘ DÀI ED thì sao ạ

tính chứ ko phải chứng minh đâu bạn?

\(=3^2\left(\frac{1}{20.23}+\frac{1}{23.26}+...+\frac{1}{77.80}\right)\)

\(=3^2.\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{23}+\frac{1}{23}-\frac{1}{26}+...+\frac{1}{77}-\frac{1}{80}\right)\)

\(=3\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{80}\right)\)

\(=\frac{9}{80}\)

Đặt  \(A=\frac{3^2}{20\cdot23}+\frac{3^2}{23\cdot26}+\frac{....3^2}{77\cdot80}\)

      \(A=3\left(\frac{3}{20\cdot23}+\frac{3}{23\cdot26}+....+\frac{3}{77\cdot80}\right)\)

     \(A=3\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{23}+\frac{1}{23}-\frac{1}{26}+...+\frac{1}{77}-\frac{1}{80}\right)\)

     \(A=3\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{80}\right)\)

    \(A=3\cdot\frac{3}{80}\)

   \(A=\frac{9}{80}\)