\(A=\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|+\left|x-d\right|\ge0\)

Dấu ''='' xảy ra <=> x = a ; x = b ; x = c ; x = d

hay a = b = c = d = x (*) 

Vậy GTNN A là 0 <=> (*) 

/:là giá trị tuyệt đối đấy ạ

mọi người giải hộ mình bài này với

Câu hỏi của Mai Chi - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

ở đầu đề bạn chỉ thêm giả sử a < b < c < d nha

1:

a: =x^2-7x+49/4-5/4

=(x-7/2)^2-5/4>=-5/4

Dấu = xảy ra khi x=7/2

b: =x^2+x+1/4-13/4

=(x+1/2)^2-13/4>=-13/4

Dấu = xảy ra khi x=-1/2

e: =x^2-x+1/4+3/4=(x-1/2)^2+3/4>=3/4

Dấu = xảy ra khi x=1/2

f: x^2-4x+7

=x^2-4x+4+3

=(x-2)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=2

2:

a: A=2x^2+4x+9

=2x^2+4x+2+7

=2(x^2+2x+1)+7

=2(x+1)^2+7>=7

Dấu = xảy ra khi x=-1

b: x^2+2x+4

=x^2+2x+1+3

=(x+1)^2+3>=3

Dấu = xảy ra khi x=-1

Áp dụng BĐT |a| + |b| ≥ |a + b|, dấu bằng xảy ra <=> ab ≥ 0,  ta có:

|x - a| + |x - d| ≥ |x -  a| + |d - x| ≥ |x - a + d - x| = d - a   (1)

|x - b| + |x - c| ≥ |x -  b| + |c - x| ≥ |x - b + c - x| = c - b    (2)

Từ (1) và (2) => |x - a| + |x - d| + |x - b| + |x - c| ≥ d - a + c - b

Dấu " = " xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}\left(x-a\right)\left(d-x\right)\ge0\\\left(x-b\right)\left(c-x\right)\ge0\end{cases}}\)

+) Giải: (x - a)(d - x) ≥ 0 

Th1: \(\hept{\begin{cases}x-a\ge0\\d-x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge a\\x\le d\end{cases}}\Rightarrow a\le x\le d\)  (3)

Th2: \(\hept{\begin{cases}x-a\le0\\d-x\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le a\\x\ge d\end{cases}}\Rightarrow d\le x\le a\)(Vô lý vì a < d)

Giải (x - b)(c - x) ≥ 0 

Th1: \(\hept{\begin{cases}x-b\ge0\\c-x\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\ge b\\x\le c\end{cases}}\Rightarrow b\le x\le c\)  (4)

Th2: \(\hept{\begin{cases}x-b\le0\\c-x\le0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}x\le b\\x\ge c\end{cases}}\Rightarrow c\le x\le b\)(Vô lý vì b < c)

Từ (3) và (4) => Dấu bằng xảy ra <=> a ≤ x ≤ d và b ≤ x ≤ c 

Mà a < b < c < d

=> Dấu bằng xảy ra <=> b ≤ x ≤ c 

Vậy GTNN |x - a| + |x - d| + |x - b| + |x - c| = d - a + c - b <=> b ≤ x ≤ c 

Bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

\(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)(x+y+z)\geq (1+1+1)^2\)

\(\Leftrightarrow A.1\geq 9\Leftrightarrow A\geq 9\)

Vậy GTNN của $A$ là $9$. Giá trị này đạt được tại $x=y=z=\frac{1}{3}$

Bài 2:

Hoàn toàn tương tự bài 1

$S(a+b+c)\geq (1+1+1)^2$ theo BĐT Bunhiacopxky

$\Leftrightarrow S.3\geq 9\Rightarrow S\geq 3$

Vậy GTNN của $S$ là $3$ khi $a=b=c=1$

Bài 3:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky như các bài trên ta có:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Mà $0< x+y+z\leq 6$ nên $\frac{9}{x+y+z}\geq \frac{9}{6}=\frac{3}{2}$

Do đó $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{2}$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=2$

Bài 4:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương ta có:

$a^4+b^4+c^4+d^4\geq 4\sqrt[4]{a^4b^4c^4d^4}=4abcd$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=d>0$

cau 2 chung minh cai gi vay ban

\(A=\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|+\left|x-d\right|\)

Ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-a\right|\ge0\forall x,a\\\left|x-b\right|\ge0\forall x,b\\\left|x-c\right|\ge0\forall x,c\\\left|x-d\right|\ge0\forall x,d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left|x-a\right|+\left|x-b\right|+\left|x-c\right|+\left|x-d\right|\ge0\) \(\forall x,a,b,c,d.\)

\(\Rightarrow A\ge0.\)

Dấu '' = '' xảy ra khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}\left|x-a\right|=0\\\left|x-b\right|=0\\\left|x-c\right|=0\\\left|x-d\right|=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-a=0\\x-b=0\\x-c=0\\x-d=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=a\\x=b\\x=c\\x=d\end{matrix}\right.\Rightarrow a=b=c=d=x.\)

Vậy \(MIN_A=0\) khi \(a=b=c=d=x.\)

Chúc bạn học tốt!