1, bạn tự giải

2, 

\(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(-m-3\right)=m^2-2m+1+m+3=m^2-m+4=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}>0\)

Vậy pt luôn có 2 nghiệm x1 ; x2 khi \(\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{15}{4}\ne0\left(luondung\right)\)

Theo Vi et \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m-3\end{matrix}\right.\)

Ta có \(\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)

Thay vào ta được \(4\left(m-1\right)^2-2\left(-m-3\right)=10\)

\(\Leftrightarrow4m^2-8m+4+2m+6=10\Leftrightarrow4m^2-6m=0\)

\(\Leftrightarrow m\left(4m-6\right)=0\Leftrightarrow m=0;m=\dfrac{3}{2}\)

1) Bạn tự giải

2) Ta có: \(\Delta=4m^2-8m+9>0\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo Vi-ét ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\) (*)

Mặt khác: \(x_1^2+x_2^2=2018\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=2018\)

\(\Rightarrow4m^2-4m+1-2m+4=2018\)

\(\Leftrightarrow4m^2-6m-2013=0\) \(\Leftrightarrow...\)

c)  Từ (*) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-1\\2x_1x_2=2m-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x_1+x_2-2x_1x_2=3\) 

                                         (Không phụ thuộc vào m)

b, \(\Delta'=b'^2-ac=\left[-\left(m-1\right)\right]^2-1.\left(-m-3\right)=m^2-2m+1+m+3\)

\(=m^2-m+4=m^2-m+\frac{1}{4}+\frac{15}{4}=\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{15}{4}>0\)

Vậy pt (1) có 2 nghiệm x1,x2 với mọi m

Theo hệ thức vi-et ta có: \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\left(2\right)\\x_1x_2=-m-3\left(3\right)\end{cases}}\)

Ta có: \(x_1^2+x_2^2=10\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=10\)

<=>\(4\left(m-1\right)^2-2\left(-m-3\right)=10\)

<=>\(4m^2-8m+4+2m+6=10\)

<=>\(4m^2-6m+10=10\Leftrightarrow2m\left(2m-3\right)=0\)

<=>\(\orbr{\begin{cases}m=0\\m=\frac{3}{2}\end{cases}}\)

c, Từ (2) => \(m=\frac{x_1+x_2+2}{2}\)

Thay m vào (3) ta có: \(x_1x_2=\frac{-x_1-x_2-2}{2}-3=\frac{-x_1-x_2-8}{2}\)

<=>\(2x_1x_2+x_1+x_2=-8\)

\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-2m-10=m^2-9\ge0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge3\\m\le-3\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m+1\right)\\x_1x_2=2m+10\end{matrix}\right.\)

a.

\(P=x_1^2+x_2^2+6x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2+4x_1x_2\)

\(P=4\left(m+1\right)^2+4\left(2m+10\right)\)

\(P=4m^2+16m+44=\left(4m^2+16m+12\right)+32\)

\(P=4\left(m+1\right)\left(m+3\right)+32\ge32\)

\(P_{min}=32\) khi \(m=-3\)

b.

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m+10\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(x_1+x_2-x_1x_2=-8\)

Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m

a, Thay m = 1 ta đc

\(x^2-1=0\Leftrightarrow x=1;x=-1\)

b, \(\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2-4m+4=\left(m-2\right)^2\)

Để pt có 2 nghiệm pb khi delta' > 0 

\(m-2\ne0\Leftrightarrow m\ne2\)

c, để pt có 2 nghiệm trái dấu khi \(x_1x_2=2m-3< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{3}{2}\)

d. 

Theo Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=2m-3\end{matrix}\right.\)

Trừ vế cho vế:

\(\Rightarrow x_1+x_2-x_1x_2=1\)

Đây là hệ thức liên hệ 2 nghiệm ko phụ thuộc m

a: \(\text{Δ}=\left(2m-2\right)^2-4\left(m-5\right)\)

=4m^2-8m+4-4m+20

=4m^2-12m+24

=(2m-3)^2+15>0

=>Phương trình luôn có nghiệm

b: x1+x2=2m-2; x1x2=m-5

x1+x2=2m-2; 2x1x2=2m-10

=>x1+x2-2x1x2=2m-2-2m+10=8 là hệ thức ko phụ thuộc vào m

2.giải phương trình trên , ta được :
\(x_1=\frac{-m+\sqrt{m^2+4}}{2};x_2=\frac{-m-\sqrt{m^2+4}}{2}\)

Ta thấy x₁ > x₂ nên cần tìm m để x₁ \(\ge\)2

Ta có : \(\frac{-m+\sqrt{m^2+4}}{2}\ge2\) \(\Leftrightarrow\sqrt{m^2+4}\ge m+4\)( 1 )

Nếu \(m\le-4\)thì ( 1 ) có VT > 0, VP < 0 nên ( 1 ) đúng 

Nếu m > -4 thì  ( 1 ) \(\Leftrightarrow m^2+4\ge m^2+8m+16\Leftrightarrow m\le\frac{-3}{2}\)

Ta được : \(-4< m\le\frac{-3}{2}\)

Tóm lại, giá trị phải tìm của m là \(m\le\frac{-3}{2}\)

a: Th1: m=0

=>-2x-1=0

=>x=-1/2

=>NHận

TH2: m<>0

Δ=(-2)^2-4m(m-1)=-4m^2+4m+4

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì -4m^2+4m+4=0

=>\(m=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}\)

b: Để PT có hai nghiệm phân biệt thì -4m^2+4m+4>0

=>\(\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}< m< \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\)