Cho a, b, c, d>0 có tổng bằng 1.
Chứng minh a^2/(a+b)+b^2/(b+c)+c^2/c+d+d^2/d+a>=1/2
cho a,b,c,d là các số thực dương có tổng bằng 1
chứng minh a^2/a+b + b^2/b+c + c^2/c+d + d^2/d+a > hoặc bằng 1/2
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{a+b+b+c+c+d+d+a}=\frac{1}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = d = 1/4
Bài 1
a) Cho ba số a, b, c dương . Chứng tỏ rằng M = a/a+b + b/b+c + c/a+c không là số nguyên
b) Cho tỉ lệ thức a/b =c/d ( b,d khác 0 ; a khác -c ; b khác -d ) . Chứng minh: (a+b/c+d)^2 = a^2+b^2/c^2+d^2
c) Cho 1/c = 1/2(1/a+1/b) (Với a, b, c khác 0; b khác c). Chứng minh rằng: a/b=a-c/c-b
Cho a, b, c, d là các số thực dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: \(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}+\dfrac{d^2}{d+a}\ge\dfrac{1}{2}\)
1Cho x,y >1 . Chứng minh : x2/(y-1) + y2/ (x-1) lớn hơn hoặc bằng 8
2 Cho a,b,c,d >=0 . Chứng minh : (a+b)(a+b+c)(a+b+c+d) / abcd lớn hơn hoặc bằng 64
3 Cho a,b,c >= 0 . Chứng minh : (a+b+c)(ab+bc+ac) lớn hơn hoặc bằng 8(a+b)(b+c)(c+a) / 9
4 Cho a,b,c >=0 và a+b+c =1 . Chứng minh : bc/√(a+bc) + ac/√(b+ac) + ab/√(c+ab) bé hơn hoặc bằng 1/2
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
a, Cho a^2+b^2+c^2+3=2(a+b+c)
Chứng minh: a=b=c=1
b, Cho (a+b+c)^2=3(ab+ac+bc)
Chừng minh: a=b=c
c, Cho a,b,c,d (a,b,c,d khác 0) và (a+b+c+d)(a-b-c+d)=(a-b+c-d)(a+b-c-d)
Chừng minh: a/c=b/d
d, Cho (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=(a+b-2c)^2+(b+c-2a)^2+(c+a-2b)^2
Chứng minh:a=b=c
a) \(a^2+b^2+c^2+3=2\left(a+b+c\right)\)
<=> \(a^2-2a+1+b^2-2b+1+c^2-2c+1=0\)
<=> \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2=0\)
Tổng 3 số không âm bằng 0 <=> a=b=c=1
b) \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=3ab+3ac+3bc\)
<=> \(a^2-ab+b^2-bc+c^2-ac=0\)
<=> \(2a^2-2ab+2b^2-2bc+2c^2-2ac=0\)
<=> \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Tổng 3 số không âm bằng 0 <=> a=b=c
#NguyễnHoàngTiến ơi cảm ơn bạn đã giúp mình nhưng cho mình hỏi left với right trong bài của bạn có nghĩa là gì vậy hả, mình không hiểu lắm.
Cho a,b,c,d>0 và abcd=1. Chứng minh: a^2+b^2+c^2+d^2+a(b+c)+b(c+d)+d(c+a)>=10.
abcd = 1 \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ab=\frac{1}{cd}\\ac=\frac{1}{bd}\\bc=\frac{1}{ad}\end{cases}}\)
Áp dụng bđt AM-GM ta có:
A = \(a^2+b^2+c^2+d^2+a\left(b+c\right)+b\left(c+d\right)+d\left(c+a\right)\)\(=\left(a^2+b^2+ab\right)+\left(c^2+d^2+cd\right)+ac+bc+bd+ad\)
\(=\left(a^2+b^2+ab\right)+\left(c^2+d^2+cd\right)+\left(\frac{1}{bd}+bd\right)+\left(\frac{1}{ad}+ad\right)\)
\(\ge3\sqrt{a^2.b^2.ab}+3\sqrt{c^2.d^2.cd}+2\sqrt{\frac{1}{bd}.bd}+2\sqrt{\frac{1}{ad}.ad}\)
\(\Leftrightarrow A\ge3ab+3cd+2+2\)\(=\frac{3}{cd}+3cd+4\ge2\sqrt{\frac{3}{cd}.3cd}+4=6+4=10\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c = d = 1
Cho a, b, c, d > 0 và abcd = 1. Chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 + a(b+ c) + b (c+d) + d(c+a) lớn hơn hoặc bằng 10
Chứng minh
1) (a-b) + (c-d) bằng (a+b) - (b+d)
2) - (-a+c-d) - (c-a+d) bằng 0
3) a x (b-c-d) -a (b+c-d) bằng 0
1) Cho a/b = b/c = c/d = d/a ( với a,b,c,d khác 0 . Tính giá trị biểu thức :
M = (a+b)/(c+d) + (b+c)/(d+a) +(c+d)/(a+b)+(d+a)/(d+c)
2) Cho a/b = c/d. Chứng minh rằng :
7a^2 + 3ab/11a^2 - 8b^2 = 7c^2 + 3cd/11c^2 - 8d^2
Câu 2:
Đặt a/b=c/d=k
=>a=bk; c=dk
\(\dfrac{7a^2+3ab}{11a^2-8b^2}=\dfrac{7b^2k^2+3bk\cdot b}{11\cdot b^2k^2-8b^2}=\dfrac{7b^2k^2+3b^2k}{11b^2k^2-8b^2}=\dfrac{7k^2+3k}{11k^2-8}\)
\(\dfrac{7c^2+3cd}{11c^2-8d^2}=\dfrac{7\cdot d^2k^2+3\cdot dk\cdot d}{11\cdot d^2k^2-8d^2}=\dfrac{7k^2+3k}{11k^2-8}\)
Do đó: \(\dfrac{7a^2+3ab}{11a^2-8b^2}=\dfrac{7c^2+3cd}{11c^2-8d^2}\)