Cho x,y,z là ba số thực dương sao cho xyz=1/6 Chứng minh 1/(x^3+8y^3+1)+1/(8y^3+27z^3+1) +1/(27z^3+x^3+1 )<=1
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 7 2020 lúc 16:26
Với x,y,z là các số thực dương sao cho \(x.y.z=\frac{1}{6}\). Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{x^3+8y^3+1}+\frac{1}{8y^3+27z^3+1}+\frac{1}{27z^3+x^3+1}\le1\)
đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(x;2y;3z\right)\)\(\Rightarrow\)\(abc=1\)
bđt \(\Leftrightarrow\)\(\Sigma\frac{1}{a^3+b^3+1}\le1\)
\(VT\le\Sigma\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\Sigma\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=1\)
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn \(x^3+8y^3+27z^3-18xyz=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x^2+4y^2+9z^2\)
Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn \(x^3+8y^3+27z^3-18xyz=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=x^2+4y^2+9z^2\)
Cho ba số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng:
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xyz}\)
AD BĐT X^3+Y^3>=XY(X+Y) LÀ RA
Có BĐT phụ:
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^3-a^2b+b^3-ab^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)
Áp dụng
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\)
\(\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}+\frac{1}{yz\left(y+z\right)+xyz}+\frac{1}{zx\left(z+x\right)+xyz}\)
\(=\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{yz\left(x+y+z\right)}+\frac{1}{zx\left(x+y+z\right)}\)
\(=\frac{1}{xyz}\)
cho x,y,z\(\ne\)0 thỏa mãn: (x+2y+3z)2 = x2 + 4y2 + 9z2
chứng minh: \(\dfrac{1}{x^3}\)+\(\dfrac{1}{8y^3}\)+\(\dfrac{1}{27z^3}\)=\(\dfrac{1}{2xyz}\)
Cho 3 số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện \(\left\{{}\begin{matrix}x,y,z>0\\x+2y+3z=6\end{matrix}\right.\). Tìm GTLN của
\(P=\frac{40y^3-x^3}{2xy+12y^2}+\frac{135z^3-8y^3}{6yz+27z^2}+\frac{5x^3-27z^3}{3zx+3x^2}\)
Đặt \(\left(x;2y;3z\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c=6\)
\(P=\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\)
Ta có đánh giá: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
Thật vậy, BĐT tương đương: \(5b^3-a^3\le\left(2b-a\right)\left(ab+3b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3-a^2b-ab^2+b^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) (luôn đúng)
Tương tự: \(\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}\le2c-b\) ; \(\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\)
Cộng vế với vế: \(P\le a+b+c=6\)
\(P_{max}=6\) khi \(a=b=c=2\) hay \(\left(x;y;z\right)=\left(2;1;\frac{2}{3}\right)\)
Đúng 0
Bình luận (0)
UCT mở rộng: ta sẽ đi tìm m;n sao cho: \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le ma+nb\)
\(\Leftrightarrow a^3+ma^2b+\left(3m+n\right)ab^2+\left(3n-5\right)b^3\ge0\) (1)
\(\Leftrightarrow x^3+m.x^2+\left(3m+n\right)x+\left(3n-5\right)\ge0\) với \(x=\frac{a}{b}\)
Dự đoán rằng sẽ phân tích về dạng \(\left(a-b\right)^2.P\left(a;b\right)\) hay \(\left(x-1\right)^2P\left(x\right)\)
Do đó (1) phải có nghiệm \(x=1\)
\(\Rightarrow4m+4n-4=0\Rightarrow n=1-m\)
Thay vào: \(x^3+mx^2+\left(2m+1\right)x-3m-2\ge0\)
Hoocne hạ bậc: \(\left(x-1\right)\left(x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\right)\ge0\)
\(\Rightarrow x^2+\left(m+1\right)x+3m+2\) cũng có 1 nghiệm \(x=1\)
\(\Rightarrow4m+4=0\Rightarrow m=-1\Rightarrow n=2\)
Đúng 0
Bình luận (0)
1) Với x, y là các số thực dương thảo mãn frac{x}{2}+frac{y}{3}+frac{xy}{6}3, chứng minh rằng 27x^3+8y^3ge4322) Với a, b, c không âm thỏa mãn a^2+b^2+c^21, chứng minh rằng a^3+2b^3+3c^3gefrac{6}{7}3) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1, chứng minh rằng x+sqrt{xy}+sqrt[3]{xyz}lefrac{4}{3}
Đọc tiếp
1) Với x, y là các số thực dương thảo mãn \(\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{xy}{6}=3\), chứng minh rằng \(27x^3+8y^3\ge432\)
2) Với a, b, c không âm thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), chứng minh rằng \(a^3+2b^3+3c^3\ge\frac{6}{7}\)
3) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1, chứng minh rằng \(x+\sqrt{xy}+\sqrt[3]{xyz}\le\frac{4}{3}\)
1) với x,y là số thực dương, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
2) cho x,y,z là các số thực lớn hơn -1. chứng minh \(\frac{1+x^2}{1+y+z^2}+\frac{1+y^2}{1+z+x^2}+\frac{1+z^2}{1+x+y^2}\ge2\)
Bài 1: \(T=\sqrt{\frac{x^3}{x^3+8y^3}}+\sqrt{\frac{4y^3}{y^3+\left(x+y\right)^3}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{x\left(x^3+8y^3\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{y\left[y^3+\left(x+y\right)^3\right]}}\)
\(=\frac{x^2}{\sqrt{\left(x^2+2xy\right)\left(x^2-2xy+4y^2\right)}}+\frac{2y^2}{\sqrt{\left(xy+2y^2\right)\left(x^2+xy+y^2\right)}}\)
\(\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2y^2+\left(x+y\right)^2}\ge\frac{2x^2}{2x^2+4y^2}+\frac{4y^2}{2x^2+4y^2}=1\)
\(\Rightarrow T\ge1\)
Bài 2:
[Toán 10] Bất đẳng thức | Page 5 | HOCMAI Forum - Cộng đồng học sinh Việt Nam
Đúng 0
Bình luận (0)
Cho 3 số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng
\(\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{x^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{xyz}\)
Ta có:
\(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow x^2+y^2-xy\ge xy\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3\ge xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+xyz}\le\frac{1}{xy\left(x+y\right)+xyz}=\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{xy}\)
Tương tự: \(\frac{1}{y^3+z^3+xyz}\le\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{yz}\) ;\(\frac{1}{z^3+x^3+xyz}\le\frac{1}{x+y+z}.\frac{1}{zx}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+xyz}+\frac{1}{y^3+z^3+xyz}+\frac{1}{z^3+x^3+xyz}\)
\(\le\frac{1}{x+y+z}.\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}\right)=\frac{x+y+z}{\left(x+y+z\right)xyz}=\frac{1}{xyz}\)
Dấu \(=\) xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z>0\)